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1 201-SD2-FX Hiver 2022 Consignes et objectifs pour l’examen 2 Consignes généra

1 201-SD2-FX Hiver 2022 Consignes et objectifs pour l’examen 2 Consignes générales • L’examen vaut 22 % de la note finale du cours. • La calculatrice à affichage graphique est permise (et même nécessaire). • Vous devrez donner vos réponses en valeur exacte ou arrondir à trois chiffres significatifs près si elles ne correspondent pas à des valeurs exactes. • Vos solutions doivent être complètes! Des points seront enlevés pour les démarches incomplètes ou incohérentes et pour les erreurs de notation mathématique. • Tout plagiat, toute tentative de plagiat ou de tricherie ou toute collaboration à un plagiat ou à une tricherie entraîne automatiquement la note « 0 ». (article 6.20 de la PIEA) CONTENU – EXAMEN 2 Chapitre 1 (section 1.8) Vous devez : 1. esquisser la représentation graphique d’une fonction ayant subie une transformation (translation, symétrie ou affinité) 2. donner les transformations nécessaires pour obtenir un graphique à partir d’un graphique connu. Chapitre 2 (sections 2.1 à 2.6) Vous devez : 3. connaître les définitions de limite, limite à droite et limite à gauche ; 4. savoir qu’une limite existe lorsque la limite à gauche et la limite à droite sont égales ; 5. calculer une limite avec un tableau de valeurs et à partir d’une représentation graphique ; 6. trouver le domaine d’une fonction algébriquement et à partir d’une représentation graphique; 7. trouver l’ensemble image d’une fonction à partir d’une représentation graphique; 8. déterminer si le résultat d’une limite permet de conclure ou non à la présence d’une asymptote verticale ou horizontale et donnez, le cas échéant, l’équation de l’asymptote; 9. esquisser le graphique d’une fonction f près d’une valeur x a = à partir du résultat de ( ) lim x a f x → ; 2 10. esquisser le graphique d’une fonction f vers l’infini (positif et négatif) à partir des résultats de ( ) lim x f x → et ( ) lim x f x →− 11. connaître la définition du taux de variation moyen (TVM) d’une fonction sur un intervalle ; 12. calculer la variation de x, la variation de f et le TVM de f sur un intervalle donné ; 13. interprétez contextuellement et géométriquement un TVM ; 14. connaître la définition du taux de variation instantané (TVI) d’une fonction en x a = ; 15. calculer un TVI d’une fonction en x a = avec une table de valeurs; 16. interprétez contextuellement et géométriquement un TVI; 17. connaître la définition de la dérivée d’une fonction en x a = ; 18. connaître les différentes notations de la dérivée d’une fonction en x a = ; 19. connaître la définition de la fonction dérivée ; 20. calculer des dérivées à l’aide des formules ; 21. trouver l’équation d’une droite tangente et l’équation d’une droite normale à la courbe d’une fonction en un point donné ou sous des conditions données ; 22. connaître les définitions de fonction croissante, fonction décroissante, maximum relatif (local) et absolu, minimum relatif (local) et absolu, extremum relatif (local) et absolu; 23. interpréter géométriquement le signe de la dérivée ; 24. à partir d’une représentation graphique, donner les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction, les intervalles pour lesquels '( ) 0 f x  et pour lesquels '( ) 0 f x  ainsi que ses extremums relatifs et absolus ; 25. algébriquement, faire l’étude de croissance et de décroissance d’une fonction et déterminer ses extremums relatifs et absolus; 26. résoudre des problèmes d’optimisation contextuels; 27. déterminez une fonction f connaissant sa dérivée et un point. 3 10 20 30 Utilisation de la calculatrice graphique Vous devez être en mesure de : 1. représenter graphiquement une fonction ; 2. trouver le minimum et le maximum d’une fonction 3. trouver l’image d’un nombre par une fonction ( (2) f par exemple) 4. trouver le domaine et l’image d’une fonction ; 5. trouvez les zéros d’une fonction ; 6. construire une table de valeurs ; 7. calculer une dérivée en un point ou une fonction dérivée ; Exercices supplémentaires IMPORTANT : Assurez-vous d’avoir bien fait tous vos devoirs AVANT de faire ces exercices. Ces exercices ne vous permettent que de faire un survol général de la matière et ne couvrent pas nécessairement tous les objectifs de l’examen. QUESTION 1 : Soit la fonction f dont la représentation graphique est la suivante. Évaluez les expressions suivantes et ajoutez le symbole « = » au besoin : a) dom f b) (0) f c) (5) f d) (10) f e) (15) f f) (25) f g) (30) f h) 0 lim ( ) x f x → i) 5 lim ( ) x f x − → j) 5 lim ( ) x f x + → k) 5 lim ( ) x f x → l) 10 lim ( ) x f x → m) 15 lim ( ) x f x → n) 25 lim ( ) x f x → o) 30 lim ( ) x f x → p) lim ( ) x f x →− q) lim ( ) x f x → x f (x) 20 15 10 5 −5 25 15 5 0 4 r) Complétez les phrases suivantes. 1. La droite horizontale ................................... est une .............................................................. à la courbe de f car ..................................................... 2. La droite verticale ....................................... est une .............................................................. à la courbe de f car ...................................................... QUESTION 2 : Calculez chacune des limites suivantes avec une table de valeurs. Lorsque le calcul permet de conclure à la présence d’une asymptote, déterminez-en le type (verticale ou horizontale) et donnez-en son équation. a) 2 1 2 3 lim 1 x x x → + − b) 3 2 4 lim 2 x x x x → − − c) 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x →− − − + + d) 2 2 3 2 9 lim 2 3 1 x x x x x →− + + − + QUESTION 3 : Soit f une fonction définie par −    −  =  −    −  2 3 si 7 7 ( ) 1 si 7 7 x x x f x x x À l’aide d’une table de valeurs calculez ( ) →7 lim x f x . QUESTION 4 : Trouvez, s’il y lieu, la ou les équation(s) des asymptotes horizontales et verticales des fonctions suivantes en justifiant vos résultats par le calcul des limites appropriées. a) 3 ( ) 5 x f x x = + b) 4 3 2 1 ( ) 1 x x f x x + + = + QUESTION 5 : Esquissez le graphique de f qui répond simultanément à toutes les conditions suivantes : = dom f lim ( ) 6 x f x → = lim ( ) x f x →− =  (2) 2 f = ( 3) 4 f − = (0) 1 f = − 2 lim ( ) 2 x f x + → = 2 lim ( ) x f x →  3 lim ( ) 2 x f x + →− = 3 lim ( ) 4 x f x − →− = QUESTION 6 : Soit f une fonction définie par 2 ( ) 2 3 7 f x x x = + −. a) Déterminez l’équation de la droite sécante passant par les points ( ) 2 ; ( 2) f − − et ( ) 3 ; (3) f . b) Déterminez l’équation de la droite tangente à la courbe en 2 x =−. c) Déterminez la ou les valeurs de x pour lesquelles la courbe de la fonction admet une tangente horizontale. 5 QUESTION 7 Déterminez les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction f représentée graphiquement ci-dessous n’est pas dérivable. QUESTION 8 : La valeur estimée E (en dollars) d’un bateau en fonction du temps est donnée par 2 ( ) 50 2500 31250 E t t t = − + , où t représente le nombre d’années. a) Déterminez la valeur initiale du bateau. b) Déterminez après combien d’années ce bateau aura une valeur estimée de 0 $. c) Après combien d’années ce bateau vaudra-t-il la moitié de sa valeur initiale? d) Trouvez le taux de variation moyen de la valeur estimée de ce bateau entre la 2e et la 5e année. Interprétez votre résultat dans le contexte du problème par une phrase complète. e) Déterminez le taux de variation instantané de la valeur estimée de ce bateau à la 10e année. Interprétez votre résultat dans le contexte du problème par une phrase complète. f) À quel moment le taux de variation instantané sera-t-il de 1800 $ année − ? Quelle sera alors la valeur estimée du bateau? 6 QUESTION 9 : Pour laquelle ou lesquelles des fonctions f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous, les énoncés suivants sont-ils vrais? Donnez toutes les réponses possibles. Une même fonction peut être utilisée plus uploads/S4/ objectifs-examen2-sd2-h22.pdf