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Seconde Repères 2011-2012 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans pre

Seconde Repères 2011-2012 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie Index I- Sur un axe, droite graduée ................................................................................................................................... 1 I-1- La droite graduée ......................................................................................................................................... 1 Exemple ..................................................................................................................................................... 1 I-2- Distance sur un axe gradué, distance entre deux nombres .......................................................................... 1 I-3- Abscisse du milieu sur un axe gradué. ......................................................................................................... 2 II- Repère dans un plan ........................................................................................................................................... 2 II-1- Un repère quelconque ................................................................................................................................. 2 II-1-1- Définitions .......................................................................................................................................... 2 II-1-1-1 axe des abscisses .......................................................................................................................... 2 II-1-1-2 axe des ordonnées ........................................................................................................................ 2 II-1-1-3 coordonnées ................................................................................................................................. 2 II-1-2 Comment lire les coordonnées? ........................................................................................................... 2 Méthode: .................................................................................................................................................... 2 II-1-3- Peut-on calculer les coordonnées du milieu? ..................................................................................... 3 Exercices ................................................................................................................................................... 3 Une question: Peut-on calculer la distance entre deux points dans un repère quelconque? .......................... 4 II-2- Un repère orthonormé ................................................................................................................................ 4 II-2-1- Définition ........................................................................................................................................... 4 II-2-2- Calculer la distance de deux points .................................................................................................... 4 II-2-3- Une formule générale pour calculer la distance de deux points ......................................................... 4 Exercices ................................................................................................................................................... 4 I- Sur un axe, droite graduée I-1- La droite graduée On trace une droite (d). Sur cette droite, on place un point O (qui sera l'origine du repère) et un point I qui marque l'unité. On attribue au point O le nombre 0 et au point I le nombre 1. Ainsi, la droite est munie du repère (O, I). Tout point quelconque M de la droite est repéré par un nombre x , appelé abscisse du point M dans le repère (O, I), et, tout nombre x est associé à un point de la droite. Si M appartient à la demi-droite [O, I), le nombre x est positif et on a : OM = x. Si M n'appartient pas à la demi-droite [O, I), le nombre x est négatif et OM = –x. Exemple Tracer une droite graduée de repère (O, I). Placer les points A, B, C d'abscisses respectives 2 ; –5 ; –3,5 Donner les longueurs OA, OB, OC, IA, IB, IC, AB, AC, BC. I-2- Distance sur un axe gradué, distance entre deux nombres Tous les nombres appelés nombres réels sont représentés sur la droite graduée munie d'un repère. On note ℝ l'ensemble de tous les nombres réels. Pour cela, on dit aussi qu'on a tracé la droite numérique réelle. On considère deux nombres a et b tels que a  b. On place les points A et B repérés respectivement par a et b. Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire. Rivarol 1/4 E:\docs_lycee_11_12\Seconde\cours\reperes.odt 08/09/11 Seconde Repères 2011-2012 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie La distance entre les deux nombres a et b est définie par la longueur du segment [AB]. On a : AB = b – a I-3- Abscisse du milieu sur un axe gradué. On reprend les points A et B du § I-2- Placer le point M milieu de [AB]. Démontrer que l'abscisse du point M est le nombre c défini par c = a+b 2 . (Illustration : fichier GeoGebra) II- Repère dans un plan II-1- Un repère quelconque Placer sur votre feuille trois points O, I, J non alignés et tracer les droites (OI) et (OJ). II-1-1- Définitions Un repère est défini par trois points non alignés (O; I, J). Le point O est l'origine du repère. II-1-1-1 axe des abscisses L'axe (O, I) est l'axe des abscisses. L'axe est gradué: le point O est repéré par l'abscisse 0 et le point I est repéré par l'abscisse 1. II-1-1-2 axe des ordonnées L'axe (O, J) est l'axe des ordonnées. L'axe est gradué: le point O est repéré par l'abscisse 0 et le point J est repéré par l'ordonnée 1. II-1-1-3 coordonnées Un point M du plan est repéré par deux nombres réels x et y. La première coordonnée ou abscisse est lue sur l'axe des abscisses. La seconde coordonnée ou ordonnée est lue sur l'axe des ordonnées. Le couple (x; y) est le couple de coordonnées du point M dans le repère (O; I, J). On note: M(x; y) II-1-2 Comment lire les coordonnées? Placer un point M quelconque dans le repère (O; I, J). Lire ses coordonnées. Méthode: Pour lire les coordonnées d'un point M dans le repère (O; I, J), on …................................................ ........................................................................................................................................................................... …....................................................................................................................................................................... Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire. Rivarol 2/4 E:\docs_lycee_11_12\Seconde\cours\reperes.odt 08/09/11 Seconde Repères 2011-2012 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie (Illustration : fichier GeoGebra) II-1-3- Peut-on calculer les coordonnées du milieu? Dans un repère quelconque (O; I, J) placer deux points A et B. Les coordonnées de ces points sont supposées connues. On note A(xA; yA) et B(xB; yB) On appelle M le milieu de [AB]. L'objectif est de calculer les coordonnées de M en fonction de celles de A et B. Démontrer que dans un repère (O; I, J), les coordonnées du milieu M d'un segment [AB] sont données par: { x M= xAxB 2 yM= y AyB 2 (Illustration : fichier GeoGebra) Exercices 1) On sait que dans un repère (O; I, J), le point A a pour coordonnées (2; –4) et que le point K a pour coordonnées (1; 1). Calculer les coordonnées du point B symétrique de A par rapport à K. 2) Dans un repère (O; I, J), on place les points A(2; 1), B(–1; 3), C(0; –3). Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire. Rivarol 3/4 E:\docs_lycee_11_12\Seconde\cours\reperes.odt 08/09/11 Seconde Repères 2011-2012 Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD est un parallélogramme. Une question: Peut-on calculer la distance entre deux points dans un repère quelconque? II-2- Un repère orthonormé La réponse à la question précédente étant non, il est nécessaire d'avoir les bonnes conditions pour calculer des distances. Les mesures de longueur sur chaque axe doivent être dans la même unité. On doit pouvoir appliquer le théorème de …................................................................, il faut alors des axes ….................................................................................................................. II-2-1- Définition On dit que le repère (O; I, J) est un repère orthonormé lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées: * les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires ** OI = OJ = 1 (unité du repère) Autrement dit: Le triangle OIJ est un triangle rectangle et isocèle de sommet O. II-2-2- Calculer la distance de deux points Placer dans un repère orthonormé (O; I, J) deux points A et B. On suppose que les coordonnées des points A et B sont connues. Calculer la distance de A à B (ou encore la longueur AB du segment [AB]). II-2-3- Une formule générale pour calculer la distance de deux points Retenir: Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne A(xA; yA) et B(xB; yB) AB² = (xB – xA)² + (yB – yA)² Exercices 1) Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne A(2; 1), B(–2; 4) a) Déterminer la nature du triangle OAB. b) Soit M(x; y) un point qui se déplace sur le cercle circonscrit au triangle OAB. Déterminer une relation entre les coordonnées x et y de M. 2) Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne A(3; –2), B(5; 4), C(–2; 3) a) Déterminer la nature du triangle ABC. b) Soit M(x; y) un point qui se déplace sur la médiatrice de [AB] Déterminer une relation entre les coordonnées x et y de M. Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire. Rivarol 4/4 E:\docs_lycee_11_12\Seconde\cours\reperes.odt 08/09/11 uploads/S4/ re-peres.pdf