Lycée OUED-ELLIL  EXERCICE Corrigé : fonctions EXP ET LN –intégrale CLASSE : 4

Lycée OUED-ELLIL  EXERCICE Corrigé : fonctions EXP ET LN –intégrale CLASSE : 4iéme secondaire /SECTION : sciences expérimentales PROF :BELLASSOUED Mohamed /Année scolaire 2020-2021 EXERCICE 10 POINTS Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i, j)

Première Partie Soit la fonction f définie sur ℝ par 2x 2x e 1 f(x) e 1    et sa courbe représentative. 1-Vérifier que x x x x e e f(x) e e      puis montrer que f est impaire . 2- a-Quelles sont les limites de f en  et  ? b-En déduire les équations des asymptotes à la courbe 3-a-Montrer que pour tout x  ℝ, 2x 2x 2 4e f (x) (e 1)    b-Dresser le tableau de variations de f puis en déduire le signe de f(x)surℝ 4-a-Montrer que f réalise une bijection deℝ sur   1,1  On note 1 f  La fonction réciproque de f . b-Montrer que pour tout x   1,1  , 1 1 1 x f (x) Ln 2 1 x           deuxième Partie 1-Déterminer l’équation de la tangente T1 à  au point d’abscisse 0. 2-a-Montrer que pour tout nombre réel t ,   2 f (t) 1 f(t)   . b-En déduire que 0 < f (t)  < 1. c- Justifier alors que pour tout x   ℝ on a : 0 ≤ f(x)≤ x d-En déduire que le point O est un point d’inflexion de la courbe  3- Tracer la courbe  de f , la droite T1 et la courbe   de la fonction 1 f  4-Calculer l’aire A de la partie du plan comprise entre , la droite T1 et les droites d’équations x 0  et x 1 . Hachurer cette surface sur la représentation graphique. Exercice corrigé /4iéme sciences expérimentales 1/1 Avril 2021 CORRECTION Première Partie 1-Soit la fonction f définie sur ℝ par 2x 2x e 1 f(x) e 1    et sa courbe représentative.     x x x 2x x x x 2x x x x x x e e e e 1 e e f(x) ;or e 0 donc f(x) e 1 e e e e e                 x x x x x x x x si x ; x f est impaire e e e e f( x) f(x) e e e e ℝ ℝ                     f est impaire . 2-a- 0 2x 2x 2x 2x 2x x x x x 2x 2x 2x 0 1 1 1 1 e e 1 e 1 1 e lim f(x) lim lim lim 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e ր ց                                                                                             x lim f (x) 1  : La droite : 1 y   est une asymptote horizontale à au voisinage de  x lim f (x) 1  : La droite : 1 y    est une asymptote horizontale à au voisinage de  3-a- f est dérivable sur ℝ comme quotient de deux fonctions dérivables sur ℝ           2x 2x 2x 2x 2x 4x 2x 4x 2x 2x 2 2 2 2x 2x 2x 2x 2e e 1 2e e 1 e 1 2e 2e 2e 2e 4e f(x) f '(x) e 1 e 1 e 1 e 1                   2x 2 2x 4e pour tout x : f '(x) e 1 ℝ    b- 2x 2x 2 4e 0 f (x) 0;donc f est strictement croissante sur (e 1) 0 ≻ ≻ ℝ ≻    EXERCICE Corrigé/4iéme Sciences Exp Correction Avril 2021 x x x 1 f est impaire lim f(x) limf( x) limf(x) 1            x lim f(x) 1   x lim f(x) 1   f f est impaire et 0 D f(0) 0 x 0 f(x) f(0) 0 f est strictement croissante sur x 0 f(x) f(0) 0 ℝ i ℝ i                     2x 2x e 1 f(x) e 1    4-a- f est strictement croissante surℝ ; donc f est une bijection de ℝsur  ℝ f f est continue surℝ ; donc  ℝ f est un intervalle de même nature que  ;  donc       x x f ; limf(x); limf(x) 1;1          b- On note 1 f  La fonction réciproque de f .Montrons que pour x   1,1  ,               1 1 1 1 2y 1 2y 2y 2y 2y 1 1 1 2y 2y f : 1;1 f : 1;1 f : 1;1 f : 1;1 e 1 f (x) y x(e 1) e 1 e (x 1) x 1 f(y) x e 1 f : 1;1 f : 1;1 f : 1;1 1 x 1 x 2y ln y e (x 1) x 1 e 1 x 1 x ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ                                                                                    1 1 x ln 2 1 x               deuxième Partie 1-Soit T la tangente à  au point d’abscisse 0. 1 0 T : y f (0)(x 0) f(0) x      T: y x  2-a-                 2 2 2t 2t 2t 2t 4t 2t 4t 2t 2 2 2 2 2 2 2t 2t 2t 2t 2t e 1 e 1 4e 4e e 2e 1 e 2e 1 f (t) f(t) 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1                     . pour tout nombre réel t ,   2 f (t) 1 f(t)   . b-     2 2 f (t) Pour t : 1 f(t) 1 0 f(t) 1 0 1 f(t) 1 0 f '(t) 1 ℝ ≺ ≺ ≺ ≺              c- Les fonctions définies sur ℝpar : t 0 ;t 1 ;t f '(t)    sont continues sur ℝ D’après (1)et(2) la courbe traverse sa tangente au point d’abscisse 0 le point O est un point d’inflexion de 3-Voir figure 1 ci contre EXERCICE Corrigé/4iéme Sciences Exp Correction Avril 2021 1 1 1 x f (x) Ln 2 1 x           0 f '(t) 1       ℝ x : 0 f(x) x                          ℝ ℝ ℝ d'aprés(1) Pour x : 0 f(x) x (1) Pour x x 0 f( x) x 0 f(x) x x f(x) 0 (2)               ℝ   x x x 0 0 0 0 x f(x) f(0) f(x) Pour x : 0 f '(t) 1 0dt f '(t)dt 1dt 0 f(x) x T : y uploads/S4/ exercice-corrige-1.pdf

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• Publié le Mar 10, 2022
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
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