Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Modèle normatif de choix des actifs financiers : le modèle de Markowitz 1 1990

Modèle normatif de choix des actifs financiers : le modèle de Markowitz 1 1990 : Prix Nobel d’économie Citation de Markowitz So about five minutes into my defense, Friedman says, well Harry I’ve read this. I don’t find any mistakes in the math, but this is not a dissertation in economics, and we cannot give you a PhD in economics for a dissertation that is not in economics. He kept repeating that for the next hour and a half. My palms began to sweat. At one point he says, you have a problem. It’s not economics, it’s not mathematics, it’s not business administration, and Professor Marschak said, “It’s not literature”. So after about an hour and a half of that, they send me out to the hall, and about five minutes later Marschak came out and said congratulations Dr. Markowitz. 2 L’objectif d’un investisseur est de déterminer les combinaisons optimales de titres dans un portefeuille afin de maximiser l’utilité de richesse finale. 3 La procédure est décomposée en deux étapes : • Dans la première : déterminer les meilleurs portefeuilles possibles sans tenir compte du point de vue d’un investisseur, l’ensemble de ses portefeuilles constitue la frontière efficiente. • Dans la seconde : l’investisseur choisit parmi tous les portefeuilles efficients celui qui maximise sa satisfaction. Son choix est essentiellement fonction de son aversion au risque. Pus techniquement, il s’agit de calculer les proportions de la richesse de l’agent à investir dans chaque titre, connaissant les espérances et l’ensemble des variances et des covariances entre les titres. 4 Hypothèses relatives aux actifs financiers H1- Tout investissement est une décision prise dans une situation de risque : le rendement d’un actif financier pour toute période future est par conséquent, une variable aléatoire, dont on fait l’hypothèse qu’elle est distribuée selon une loi normale; une distribution symétrique stable entièrement définie par les deux paramètres : - E(Ri) = l’espérance mathématique de rendement; - (Ri) = l’écart type de la distribution de probabilité de rendement. H2- Les rendements des différents actifs financiers ne fluctuent pas indépendamment les uns des autres : ils sont corrélés, c’est à dire qu’ils ont des covariances non nulles : Cov(Ri, Rj) = ij.(Ri).(Rj)  0 où, ij est le coefficient de corrélation des rendements des actifs i et j. 5 Hypothèses relatives au comportement des investisseurs H3- Le comportement de tous les investisseurs est caractérisé par un degré plus ou moins prononcé d’aversion vis-à-vis du risque. Ce dernier est mesuré par l’écart type de la distribution de probabilité du rendement. H4- Les investisseurs sont rationnels : bien que leur fonction de préférence soit purement subjective, ils opèrent, en référence à celle-ci des choix strictement transitifs. H5- Tous les investisseurs ont le même horizon de décision, qui comporte une seule période. 6 Structuration du modèle de gestion de portefeuille Il faudra, soit maximiser le rendement pour un niveau de risque donné, soit inversement, minimiser le risque pour un niveau de rendement donné. Dans ce dernier cas par exemple, on devra résoudre le programme suivant : n n Min V(Rp) = Min   xi.xj.ij i=1 j=1 n s/c : E(Rp) =  xi.E(Ri) = R0 constant i=1 n  xi = 1 i=1 7 Exemple introductif Prenons le cas d’un marché composé de deux titres A et B : E(RA)=0,04 et E(RB)=0,10 Var(RA)=0,02 , Var(RB)=0,125 et Cov(RA,RB)=0,025 1°- Formuler le programme de minimisation de la variance et déterminer l’expression du Lagrangien pour un portefeuille dont le niveau de rendement est fixé à R0. Déterminer les expressions des dérivées premières du Lagrangien. 2°- Déterminez la frontière efficiente. 3°- Déterminez le portefeuille optimal d’un investisseur dont le comportement vis-à-vis de risque est décrit par la fonction d’utilité U(R)=R-0.01R^2 8 Le portefeuille optimal 9 P E(r) rf s A B P Résultat X = V-1.B.A-1. |R0 | | 1 | • V(Rp) = ²(Rp) = [c / (a.c - b²)].R0² - [2b / (a.c - b²)].R0 + [a / (a.c - b²)] Où a = MT.V-1.M b = MT.V-1.U c = UT.V-1.U 10 Introduction d’un actif sans risque au niveau du modèle de Markowitz Soit k un portefeuille qui était efficient avant l’introduction de RF et soit p, un portefeuille constitué en combinant des fractions (1 - ) de k et  de RF. p peut donc être caractérisé par : E(Rp) = .RF + (1 - ).E(Rk) et V(Rp) = (1 - )².V(Rk)  (Rp) = (1 - ).(Rk) Ces deux équations peuvent être mises en relation à travers la constante  : (Rp) = (1 - ).(Rk)  (1 - ) = (Rp) / (Rk)   = 1 - [(Rp) / (Rk)] En remplaçant  par sa valeur dans l’expression de l’espérance, on obtient :  E(Rp) = RF + [(Rp) / (Rk)].[E(Rk) - RF] 11 Quelle que soit la fonction d’utilité de l’investisseur, son portefeuille efficient se trouvant sur RFM, il sera constitué par des combinaisons du titre sans risque et du portefeuille efficient M appelé portefeuille de marché; plus précisément : - si  = 1, l’investisseur est extrêmement prudent : il choisit de placer la totalité de son budget au taux sans risque; - si  = 0, l’investisseur ne se préoccupe pas du titre sans risque et achète le portefeuille M composé de l’ensemble des titres risqués du marché; - si 0 <  < 1, l’investisseur prête une partie de son argent au taux RF et achète avec le reste des titres risqués, c’est à dire une fraction de M; - si  < 0, le portefeuille de l’investisseur se situe au-delà du point M, ce qui signifie que ce dernier emprunte au taux RF pour se constituer un levier financier et investir davantage dans le portefeuille M. 12 Le portefeuille optimal est le portefeuille tangent. 13 E(r)  Ce portefeuille risqué est optimal pour tous les investisseurs! La solution optimale est la demi droite qui maximise la pente! B A La détermination de la nouvelle frontière efficiente passe donc par la résolution du programme suivant : Min V(Rp) = Min XT.V.X s / c : MT.X + xn+1.RF = R0 UT.X + xn+1 = 1 14 Résultats E(Rp) =  [M - RF.U]T.V-1.[M - RF.U] . (Rp) + RF C’est l’équation de la frontière efficiente en présence d’un actif sans risque. Cette expression est totalement indépendante des coordonnées du portefeuille de marché, M. • Le portefeuille M est composé comme suit : XM = [V-1.[M - RF.U]] / [UT.V-1.[M - RF.U]] 15 Le portefeuille optimal 16 P E(r) rf sw*<1w* >1PrêteurEmprunteur La mise en oeuvre du modèle de Markowitz - Que valent les portefeuilles obtenus? - Que peut-on dire de leur degré d’inefficience? - Quelle est l’influence des erreurs de mesure sur leur compositions et leurs performances? - Il est impossible de connaitre à l’avance les paramètres de cette frontière: risque d’estimation (utilisation des données historiques). - Les compositions, moyennes et variances des portefeuilles efficients sont extremement sensibles à des changements des espérances de rentabilité des titres. Best et Grauer (1991) trouvent que pour un portefeuille de 100 titres une variationde 11.6% de l’espérance de rentabilité de l’un d’entre eux a pour effet le remplacement de la moitié des titres appatenant à un portefeuille efficient. En imposant la contraite de non negativité, le résultat n’est pas aussi sensible. 17 - Best et Grauer (1991) constatent que la sensibilité des rentabilités dépend du nombre de titres. - Chopra et Ziemba (1993) trouvent que les erreurs commises sur les rentabilités espérées des titres ont un impact sur la rentabilité des portefeuilles optimaux beaucoup plus important que les erreurs sur les variances et les covariances. - Le modèle de Markowitz ne peut servire que dans un domaine restreint ou après des corrections. - La composition du portefeuille (Q) à risque minimal ne dépend pas des rentabilités des titres et donc il est stable. - L’ensemble de la frontière efficiente, spécialement en cas de non négativité, gagne en stabilité si les estimations cncernent le long terme et les actifs sont dissemblables (actions, obligations, immobiliers, bons du trésor). Ainsi les fonds de retraite par exemple peuvent utiliser le modèle de Markowitz. 18 uploads/Finance/ 1-markowitz.pdf