Licence L3 – Algèbre et théorie des nombres Fiche 2 Université Claude Bernard L
Licence L3 – Algèbre et théorie des nombres Fiche 2 Université Claude Bernard Lyon 1 - automne 2013 Licence Sciences, Technologies, Santé - mention mathématiques UE Algèbre V Fiche 2 ———————— Exercice 1. a. Soit (e1, e2, . . . , en) la base canonique de Rn. Pour σ ∈Sn, on définit σ·ei = eσ(i). Montrer que cette définition donne une action de groupe. b. Donner une description de la matrice associée à l’application linéaire Lσ qui est l’extension linéaire de σ. c. En utilisant le théorème de Cayley, déduire que chaque groupe fini est isomorphe à un groupe de matrices. d. Donner des répresentations explicites de Z/2Z, Z/3Z et Z/2Z × Z/2Z comme groupes de permutations et comme groupe de matrices. Exercice 2. Soient m et n deux entiers ≥1. a. Montrer que le groupe nZ + mZ est le groupe dZ où d est le PGCD de m et n. b. Montrer que le groupe nZ ∩mZ est le groupe lZ où l est le PPCM de m et n. c. En déduire que dZ/mZ ≃nZ/lZ et que PGCD(m, n) PPCM(m, n) = mn. Exercice 3. On considère le groupe S4 des permutations sur {1, 2, 3, 4}. Soit H le sous-groupe engendré par les permutations (1, 2)(3, 4) et (1, 3)(2, 4). a. Montrer que H est un sous-groupe distingué de S4 d’ordre 4. b. On pose K = S4/H. Montrer que K ne possède pas d’élément d’ordre 6. En déduire que K est isomorphe à S3. c. Montrer que H est un sous-groupe distingué de A4. Calculer A4/H. d. Vérifier que (S4/H)/(A4/H) ≃S4/A4. Exercice 4. Montrer que les opérations suivantes sont des actions du groupe G sur l’ensemble X. Déterminer les orbites et stabilisateurs des éléments. a. G = S3, X = {T ⊆{1, 2, 3}} et σ · T = {σ(t) : t ∈T}. b. G = S3, X = A3 et g · x = gxg−1. c. G = A3, X = A3 et g · x = gxg−1. Licence L3 – Algèbre et théorie des nombres Fiche 2 d. G = rotations qui stabilisent un cube avec la composition de fonctions, X = faces du même cube, g · x = l’image de la face sous la rotation. e. Soit n ∈N, G = n e 2πik n : k ∈Z o avec la multiplication, X = C et g·x = gx, la multiplication. f. G = GL2(Z/2Z), X = 1 0 , 0 1 , 1 1 et g · x est l’application d’une matrice à un vecteur. Exercice 5. Soit G un groupe fini d’ordre n divisible par p premier. Soit E le sous-ensemble de Gp défini par : E = {(x1, x2, . . . , xp) ∈Gp | x1x2 . . . xp = e}. Pour tout élément ξ = (x1, x2, . . . , xp) ∈E, on pose σ(ξ) = (x2, x3, . . . , xp, x1). a. Vérifier que σ est une permutation de E On définit une action du groupe cyclique Z/pZ sur E par ¯ kξ = σk(ξ). b. Quel est le nombre d’éléments de E ? c. Montrer qu’une orbite contient un seul élément ξ si et seulement si ξ = (x, . . . , x) avec xp = e. d. Montrer que le nombre d’orbites réduites à un élément est non nul. e. En déduire le théorème de Cauchy : si l’ordre de G est divisible par p, alors G contient au moins un élément d’ordre p. Exercice 6. Rappelons que pour p un nombre premier, on appelle p-groupe un groupe dont l’ordre est une puissance de p. Le but de cet exercice est de démontrer que le centre d’un p-groupe n’est pas réduit à l’élément neutre. a. Soit G un p-groupe opérant sur un ensemble X, notons XG l’ensemble des points fixes de X sous G, c’est-à-dire XG = {x ∈X tel que g · x = x pour tout g ∈G}. Montrer que : |X| ≡|XG| (mod p). Indication : Écrire X comme réunion disjointe de ses orbites sous l’action de G. b. Conclure : présenter le centre du groupe comme les points fixes sous une action convenable de G. (Préciser l’action et l’ensemble sur lequel G agit). Exercice 7. Soit G un groupe fini, Z(G) son centre. On fait agir G sur lui-même par conjugaison. a. On suppose G non commutatif. Soit x un élément de G non dans Z(G) et Sx le stabilisateur de x. Montrer que Z(G) ⊊Sx ⊊G. b. En déduire que si G n’est pas commutatif, Z(G) est un sous-groupe de G dont l’indice est strictement supérieur au plus petit nombre premier divisant |G|, l’ordre de G. c. Quel est le centre d’un groupe d’ordre p2, et d’un groupe non commutatif d’ordre p3 ? d. Montrer que si G est d’ordre p2, on a G ≃Z/p2Z ou G ≃Z/pZ × Z/pZ. e. Donner un exemple de groupe non commutatif d’ordre p3. uploads/Finance/ alg5-2.pdf
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- Publié le Sep 05, 2022
- Catégorie Business / Finance
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