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1 Universit´ e AbdelMalek Essaadi Facult´ e des Sciences et Techniques Tanger D

1 Universit´ e AbdelMalek Essaadi Facult´ e des Sciences et Techniques Tanger D´ epartement Des Sciences Math´ ematiques Introduction l’alg` ebre lin´ eaire Modules M111 A l’usage des ´ etudiants du DEUG MIPC et DEUT Abdesslam ARHRIB 2 Pr´ eface Ce polycopi´ e s’adresse aux ´ etudiants de la premi` ere ann´ ee du DEUG scientiﬁque. Il constitue le programme du module M111 enseign´ e ` a la FSTT. Des exemples d’illustration y sont propos´ es. Des d´ emonstrations de certains th´ eor` emes et propositions sont ´ egalement present´ ees. Le polycopi´ e contient huit chapitres: • Ensembles, Applications, Relations • Espaces Vectoriels • Applications lin´ eaires • Matrices • D´ eterminants et leurs applications • Polynˆ omes • Fractions Rationnelles • R´ eduction des endomorphismes Une s´ erie d’exercices est present´ ee ` a la ﬁn de chaque chapitre. Cette s´ erie d’exercice contient ´ egalement des examens propos´ es ` a la FSTT depuis 1996. Nous vous remercions par avance pour toute remarque ou critique et/ou suggestion constructive et nous vous souhaitons bon courage. Tanger le 10 Octobre 2007. Abdesslam ARHRIB e–mail: aarhrib@ictp.it Table des mati` eres 1 Ensembles, Applications, Relations 7 1.1 Notions de Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Notions ´ el´ ementaires de th´ eorie des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Inclusion et egalit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 R´ eunion, intersection et compl´ ementaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 A propos des Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Notion de relation, graphe, correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Application surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Application injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Image et Image r´ eciproque d’un ensemble par une application. . . . . . . . . . 12 1.3.5 Compos´ ee d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 A propos des Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Relation d’´ equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Classe d’´ equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Espaces Vectoriels 19 2.1 Loi de composition interne et externe: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Loi de composition Interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Loi de composition externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3 Structure d’espace vectoriel sur I R o` u l C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 R` egles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Sous espaces verctoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Famille g´ en´ eratice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Famille libre, famille li´ ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3 Base d’un espace vectoriel, Dimension d’un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . 27 2.4 Exercices r´ esolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Applications lin´ eaires 35 3.1 D´ eﬁnitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Propri´ et´ es des applications lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Noyau et image d’une application lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Rang d’un syst` eme de vecteurs, rang d’une application lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.1 Rang d’un syst` eme de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.2 Rang d’une application lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5 Exercices r´ esolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Finance/ cour-algebre-prof-aghrib-pdf.pdf