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CAHIERS MÉTHODOLOGIQUES POUR LES CLASSES PRÉPARATOIRES AUX GRANDES ÉCOLES DE CO

CAHIERS MÉTHODOLOGIQUES POUR LES CLASSES PRÉPARATOIRES AUX GRANDES ÉCOLES DE COMMERCE Les astuces de Maths par Isabelle Blejean C O L L E C T I O N L E S M É M E N T O S D E L ’ I N S E E C MÉM ENTO N° 9 Les Mémentos de l’INSEEC Depuis désormais plus de dix ans, l’INSEEC propose aux élèves des classes pré- paratoires des conférences à travers la France sur les sujets d’Histoire et de Culture Générale qu’appellent les programmes des concours d’entrée aux Ecoles de Commerce. Confortés par les nombreux témoignages enthousiastes que ces manifestations ont suscités chaque année, nous avons pris la décision d’aller plus loin dans cette aide offerte aux étudiants pour compléter leur préparation. Nous avons donc conﬁ é à Éric Cobast le soin d’animer une collection de petits ouvrages méthodologiques destinés aux étudiants de première et de seconde année. Les « Mémentos de l’INSEEC » ont été conçus et rédigés par des professeurs des classes préparatoires particulièrement sensibilisés aux difﬁ cultés que ren- contrent régulièrement leurs étudiants. C’est au service de tous qu’ils appor- tent à présent leur expérience. L’ambition des « Mémentos » n’est évidemment pas de se substituer d’une manière ou d’une autre aux cours annuels, mais de proposer des outils, principalement sur le plan de la méthode et du lexique, susceptibles d’accompagner la préparation des concours. Le souci a été d’efﬁ cacité et d’utilité quant au choix du format. Il nous a été dicté par l’intention de publier des textes maniables, d’un accès aisé et vers lesquels il est commode de revenir souvent. Nous avions choisi, l’an passé, de débuter par une méthodologie de la disserta- tion d’Histoire, de la dissertation de philosophie, de l’épreuve écrite d’anglais et enﬁ n de l’épreuve de contraction. A ces quatre premiers titres, il fallait ajouter une présentation détaillée des entretiens qui suivent l’admissibilité et un lexique propre au thème retenu pour la C.S.H. Cette année, le dispositif est complété par deux mémentos de mathémati- ques (un formulaire et un recueil « d’astuces »), un mémento d’espagnol, un mémento d’économie et enﬁ n le lexique du thème de C.S.H. de l’année, l’Ac- tion. En vous souhaitant bonne réception et bon usage de ces mémentos, et avec l’assurance que cette année d’efforts trouvera sa juste récompense… Catherine Lespine Directrice Générale du Groupe INSEEC 1 Les astuces de Maths Isabelle Bléjean Professeur agrégé de Mathématiques en classes préparatoires au Lycée Madeleine Daniélou à Rueil-Malmaison 2 Conseils généraux .................................................................... 4 A.Les années de préparation .............................................. 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse ................................................................................... 18 A. Suites et séries .............................................................. 18 B. Fonctions ........................................................................ 25 C. Equivalents et développements limités ....................... 26 D. Intégration .................................................................... 28 E. Fonctions de plusieurs variables .................................. 32 Sommaire 3 Probabilités ............................................................................ 37 A. Dénombrement .............................................................. 37 B. Probabilités discrètes .................................................... 38 C. Variables à densité ........................................................ 42 D. Convergence et approximation ..................................... 45 E. Estimations ................................................................... 47 Le fond et la forme ................................................................. 49 A. Le fond : ce que vous écrivez ......................................... 49 B. La forme : comment vous rédigez ................................. 49 4 Conseils généraux A. Les années de préparation 1. Apprendre Les concours se préparent sur deux ans. Il est essentiel que les candidats aient fourni un travail régulier aﬁ n que les notions soient parfaitement acquises et que les automatismes soient bien en place. On ne peut utiliser à bon escient les théorèmes, déﬁ nitions et propriétés que si on les connaît parfaitement c’est-à-dire si on en connaît les hypothèses et les conclusions. Un travail de « par cœur » est une composante fondamentale de l’activité mathématique. La constitution d’un formulaire personnel de mathématiques ne saurait être trop conseillée. D’autre part, il est bien souvent utile de revoir les démonstrations du cours qui, si elles ne font pas en général l’objet d’une question, donnent les mécanismes qui opèrent dans le chapitre traité. Les exemples donnés en cours par vos professeurs peuvent aussi être mémorisés car ils sont une source de référence lorsque vous cherchez des méthodes de résolution. 2. S’entraîner De même que le virtuose s’entraîne tous les jours, la fréquentation assidue des annales est une part importante du succès. Chaque concours a sa spéciﬁ - cité et chaque groupe de concepteurs a son style. Bien les connaître permet de satisfaire aux exigences propres de chaque épreuve. On ne saurait donc trop vous conseiller de travailler les sujets des années précédentes. La méthode de travail avec des annales demande une grande discipline. Nombre d’entre vous pensent avoir « fait des annales » alors que leur seul exercice consiste en une lecture stérile et éphémère du corrigé. Un sujet d’an- nale se travaille sans un seul coup d’œil aux solutions avant la ﬁ n du pro- blème. Et, si vous bloquez à un moment, il vaut mieux demander conseil à vos professeurs qui sauront vous donner une indication sans déﬂ orer l’exercice et surtout trouver la raison de votre blocage. La rapidité est dans ce type d’épreuve un des critères de sélection. Pour l’ac- quérir, on doit perdre le moins de temps en recherche. Pour cette raison, le nombre d’automatismes mis en place va être déterminant. 5 B. Lors des épreuves 1. Recommandations Naturellement, il faut lire l’énoncé dans sa totalité dès le début de l’épreuve. Cela permet de : découvrir les thèmes abordés et, de ce fait, de choisir l’exercice par lequel on commence ; voir les questions les plus faciles et évaluer les moins immédiates ; repérer les questions classiques. Il arrive aussi que certaines questions reviennent de façon récurrente dans les sujets et, si on les a traitées pendant la préparation, leur résolution en sera d’autant facilitée. Les questions dites de calcul et les questions d’algorithmique peuvent être assez longues à résoudre. Elles ne sont, en général, entièrement résolues que par un petit nombre de candidats et sont, de ce fait, assez payantes. 2. Gestion du temps Avant de commencer l’épreuve, il faut se donner des repères concernant le temps à passer sur chaque exercice ou partie du sujet. Il ne faut jamais passer trop de temps sur une quelconque question. On aura donc intérêt à la laisser de côté et à en admettre le résultat. Il ne faut pas non plus passer trop rapidement si la solution n’est pas immédiate car on doit bien s’imprégner du résultat qui, souvent, doit être utilisé dans une autre partie de l’exercice. Gardez-vous un temps de relecture qui permet d’avoir une vue d’ensemble sur l’exercice traité et un regard critique sur la façon dont vous l’avez traité. 3. Méthodes Pour chaque type d’exercice, il y a un certain nombre de méthodes usuelles de résolution. Ce sont celles auxquelles il faut penser de façon systématique pendant la phase de recherche. C’est seulement après avoir exploré toutes ces pistes que vous pourrez envisager de passer la question. Voici un catalogue non exhaustif des différentes méthodes classées par thème. - - - 6 Algèbre A. Complexes. Polynômes 1. Nombres complexes La somme de deux nombres complexes conjugués et est . Le produit de deux nombres complexes conjugués et est 1. Pour linéariser , on utilise les formules d’Euler. Si on veut exprimer cosnθ ou sinnθ en fonction de cosθ et sinθ, on considère que et on utilise les formules de Moivre. Quelques résultats très utilisés : 1) . 2) - et sont conjugués. - et sont opposés. - et sont conjugués si et seulement si α + β = 0 [2π]. - et sont opposés si et seulement si α = β + π [2π]. Pour calculer , on utilise (lorsque ) la somme des ter- mes d’une suite géométrique de raison différente de 1, on met en facteur et on utilise les formules d’Euler. 7 2. Polynômes Attention aux confusions de notations entre polynômes et fonctions polynômes. Lorsqu’on écrit une fonction polynôme P, on doit toujours faire précéder l’écri- ture de P (x) d’un quantiﬁ cateur (x peut alors prendre toutes les valeurs de IR ou de C). Lorsqu’on écrit un polynôme P, les écritures P et P (X) sont indifférentes et ne doivent pas être précédées de quantiﬁ cateur, X étant une ‘‘indéterminée’’. Par exemple, les notations X pour le polynôme P1 déﬁ ni par P1 (x) = x ou encore les notations du type « X = 1 » pour P1 (x) = 1 s ont à éviter. 3. Egalité de polynômes Pour montrer que deux polynômes de même degré n sont égaux on peut : montrer qu’ils ont la même décomposition, c’est-à-dire étudier chaque coefﬁ cient ; montrer qu’ils possèdent les mêmes racines avec le même ordre de multiplicité et le même coefﬁ cient dominant ; montrer que leur différence est le polynôme nul ; montrer qu’ils coïncident en un nombre de points strictement supérieur à n ou sont égaux sur un intervalle de IR non réduit à un point. Lorsque l’on simpliﬁ e uploads/Finance/ astuce-de-mathematiques.pdf