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TIPE Santé et prévention Dimitri Yérémian 29109 1 L’épidémiologie mathématique

TIPE Santé et prévention Dimitri Yérémian 29109 1 L’épidémiologie mathématique et informatique Peut-on prévoir le déroulement d’une épidémie? 2 Plan d’étude • Ⅰ- Définitions et études de modèles existants • Ⅱ- Étude de la compatibilité de ces modèles avec la pandémie de COVID-19 • Ⅲ- Étude d’une modélisation informatique personnelle d’épidémie 3 Qu’est ce que l’épidémiologie mathématique? L’épidémiologie mathématique consiste à modéliser une épidémie grâce à : 1 - Paramétrage des facteurs nécessaires à la description de l’épidémie 2 - Mise en équations et résolution 3 - Comparaison avec des statistiques réelles 4 Modèles compartimentaux Les modèles compartimentaux consistent à : 1 - Diviser la population en plusieurs compartiments : les individus Susceptibles (S), Infectieux (I)... 2 -Décrire les interactions et les échanges entre ces groupes 5 Notations des modèles compartimentaux usuels • N = population totale étudiée • S désigne le nombre de susceptibles à un instant t • I désigne le nombre d’infectieux à un instant t • E désigne le nombre d’exposés à un instant t • R désigne le nombre de personnes guéries et immunisées à un instant t • X’ désigne la dérivée d’une grandeur X par rapport au temps • β désigne le taux de contagion • γ désigne le taux de guérison • µ désigne le taux de létalité 6 Le modèle SIS • Le modèle SIS (Susceptible-Infectieux-Susceptible) décrit une épidémie dont les individus guéris ne sont pas considérés immunisés. • Il consiste à diviser la population en deux compartiments : les individus Susceptibles et les Infectieux S I 7 Avec : • βSI : Nombre de personnes infectées par unité de temps • γI : Nombre de personnes guéries par unité de temps • µI : Nombre de personnes mortes de la maladie par unité de temps On a donc : • (1) : variation des susceptibles = -nombre infectés + nombre guéris (qui ne sont pas immunisés dans ce modèle) • (2) : variation des infectieux = nombre d’infectés – nombre de morts – nombre de guéris S I βSI γI µI 8 Le modèle SIR • Le modèle SIR (Susceptible-Infectieux-Retiré) décrit une épidémie dont les guéris sont forcément immunisés pendant la période d’étude. Il consiste à diviser la population en trois compartiments : • Susceptibles • Infectieux • Retirés (guéris et immunisés) S I R βSI γI µI 9 On a donc : • (1) : variation des susceptibles = -nombre infectés + nombre guéris (qui ne sont pas immunisés dans ce modèle) • (2) : variation des infectieux = nombre d’infectés–nombre de mort – nombre de guéris • (3) : variation des immunisés = nombre de guéris S I R βSI γI µI 10 Le modèle SEIR • Le modèle SEIR (Susceptible-Exposé- Infectieux-Retiré) est similaire au modèle SIR mais rajoute la notion de temps d’incubation d’une maladie. S E I R βSI γI αE µI 11 On a donc : • (1) : variation des susceptibles = -nombre infectés • (2) : variation des exposés = nombre d’infectés – coefficient*nombre d’exposés (qui incubent la maladie) • (3) : variation des infectieux = nombre d’individus malades (après incubation) – nombre de mort – nombre de guéris • (4) : variation des immunisés = nombre de personnes guéries S E I R βSI γI αE µI 12 Ⅱ: Application à l’étude de la pandémie de COVID-19 Taux de reproduction : β = R0* γ (Capacité d’un virus à se transmettre) Choix du modèle SIR : Modélisation du début de l’épidémie : 13 Etat Initial : S = S0 constant I’ = (βS0–γ–μ)I I = I0*ℯ^(βS0–γ–μ) 14 N = 11e6 Io = 40 Eo = 20*Io R0 = 3.1 α = 1/5.2 γ = 1/18 Application du modèle SEIR 15 Possibilité d’une modélisation plus précise : Le modèle SEAIR • Le modèle SEAIR (pour Susceptible-Exposé- Asymptomatique-Infectieux-Retiré) ajoute la prise en compte des individus asymptomatiques à la modélisation 16 • ε : taux auquel les personnes exposées deviennent infectieuses • σ : taux auquel les symptômes apparaissent chez les personnes infectieuses • γ : taux auquel les personnes symptomatiques cessent d’être infectieuses • βA : taux de transmission des personnes asymptomatiques • βI : celui des personnes symptomatiques • c : intensité de contrôle (pourcentage des infections qui sont bloquées). 17 Ajout de la sévérité différentielle • En pratique, nous allons supposer qu’une fraction p des infections sont peu sévères et une fraction 1 − p sont sévères et nécessitent une hospitalisation 18 • α est le taux de mortalité des cas sévères, • γ2 est le taux de guérison des cas sévères (qui peut différer des cas légers γ1) • Taux de transmission différents pour les cas asymptomatiques ou peu sévères (β1) et sévères (β2) • λ est la force d’infection, qui correspond au taux auquel les individus sensibles deviennent infectés. Elle est définie par la formule : • λ = [β1 (A1 + I1 + A2) + β2 I2] (1 − c). 19 Calcul du nombre de reproduction de base R0 avec prise en compte de sévérité différentielle • R0 : nombre moyen attendu de cas générés par un cas dans une population où tous les individus sont sensibles à l'infection. infections engendrées par les asymptomatiques A1 et A2 infections causées par une infection symptomatique peu sévère I1 infections secondaires causées par les cas sévères et symptomatiques I2 20 Une autre approche de modélisation : les processus stochastiques BUT Modéliser la propagation d’une épidémie dans une population de « n » individus Elaboration d’un modèle : générer un graphe aléatoire de « n » sommets, pour « n » individus, liés deux à deux par « m » arêtes 21 DÉMARCHE GÉNÉRALE I. Modèle de graphe aléatoire choisi A. Le graphe est représenté par une liste ou une matrice d’adjacence. B. Chaque sommet se voit attribuer un nombre de demi arête selon une loi de Poisson. C. Les demi arêtes sont reliées aléatoirement, on obtient la liste représentant le graphe. II. Recherche de la composante géante du graphe A. Suppression des liaisons multiples et des liaisons avec soi-même des sommets. B. Recherche de l’agrégat géant initial du graphe et obtention de la liste des sommets appartenant à l’agrégat géant. III. Tracé de la transition de percolation et résultats A. On garde aléatoirement une fraction phi d'arête entre les sommets. B. On trace le graphe aléatoire, qui peut être amélioré par un « lissage ». C. Comparaison de la propagation dans différentes populations et appréhension du seuil de percolation (résilience). 22 A. Le graphe est représenté par une liste ou une matrice d’adjacence Exemple : Matrice d'adjacence 4x4: M = [[1,0,0,2], [0,0,1,3], [0,1,1,1], [2,3,1,0]] Liste correspondante : L = [[0,3], [2,3], [1,2,3], [0,1,2]] I. Modèle de graphe aléatoire choisi Passage de l’une à l’autre : rôle des fonctions « matrice_a_liste » et « liste_a_matrice » 23 B. Chaque sommet se voit attribuer un nombre de demi arête selon une loi de Poisson. Rôle des fonctions : « fonction_repartition » et « degre_sommet » C. Les demi arêtes sont reliées aléatoirement, on obtient la liste représentant le graphe Rôle des fonctions : « degres_n » et « relier_sommets » P(X=k) = exp(-c)*(c**k)/(k!) Chaque sommet est affecté de demi arête. On relie aléatoirement les demi arêtes (nombre total de demi arête pair). 24 II. Recherche de la composante géante du graphe A. Suppression des liaisons multiples et des liaisons avec soi-même des sommets Rôle de la fonction « matrice_nettoyage » B. Recherche de l’agrégat géant du graphe et obtention de la liste des sommets appartenant à l’agrégat géant Exemple : L’agrégat géant est représenté par la liste : [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] Rôle des fonctions « liste_agregat_numsommet » et « agregat_geant » 25 Quatre courbes issues de quatre : « graphe(3,500) » Trois courbes issues de trois : « graphe(3,7000) » III. Tracé de la transition de percolation et résultats C. Comparaison de la propagation dans différentes populations et appréhension du seuil de percolation (résilience). 26 Comparaison de graphes pour des valeurs de « n » différentes Paramètres des courbes : (2,500) ; (2,1000) ; (2,2000) Paramètres des courbes : (6,500) ; (6,1000) ; (10,2000) 27 Bleu : graphe(4,2000) Comparaison de graphes pour des valeurs de « c » différentes Paramètres des courbes : (4,2000) ; (6,2000) ; (10,2000) Paramètres des courbes : (3,1000) ; (5,1000) ; (10,1000) Paramètres des courbes : (5,2000) ; (10,2000) 28 CONCLUSION • Ce modèle peut être utilisé pour caractériser différents phénomènes de transmission au sein d’un réseau. Par exemple des épidémies, des feux de forêts ou des réseaux de connexion internet. Il peut donc être utilisé en recherche. • L’aléatoire de la transmission de notre épidémie peut-être critiquée par le fait qu’une maladie peut-être plus ou moins transmise en fonction de différents facteurs : immunologie des personnes considérées, durée de contact nécessaire… 29 Annexe 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 III. Tracé de la transition de percolation et résultats A. On garde aléatoirement une fraction phi d'arête entre les sommets. uploads/Finance/ tipe.pdf