Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable Cha

Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable Chapitre 7 : Statistiques, Probabilités : - Evaluation des investissements en avenir probabilisable Tableau synoptique : Rappels de statistiques et probabilités Statistiques Probabilité Définition : Pour simplifier disons que la probabilité qu’un évènement noté (X=xi) se réalise est le nombre P(X=xi) avec P(X=xi)  [0 ;1]. Pour une définition mathématiquement rigoureuse voir la remarque en fin de paragraphe Définition Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes ssi P = P(X=x)P(Y=y) Moyenne arithmétique • Définition : • Propriétés = a = a + b = + Espérance mathématique • Définition • Propriétés E(aX) = a E(X) E(aX+b) = a E(X) + b E(X + Y) = E(X) + E(Y) Covariance • Définition : Covariance • Définition : Variance • Définition Variance • Définition V(X) = E = E(X²) – E(X)² • Propriétés • V(aX) = a²V(X) • V(aX+b) = a²V(X) • Si X et Y indépendants alors : V(X + Y) = V(X) + V(Y) = V(X-Y) • Cas général : o V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y) o V(X-Y) = V(X) + V(Y) - 2 cov(X,Y) Ecart-Type • Définition : • Propriétés σ(aX) = |a| σ(X) σ(aX+b) = |a| σ(X) Remarque : (Pour les matheux) • Définitions : Soit  un ensemble fini et P () l’ensemble des parties de . o Le couple est appelé espace probabilisable. o Les éléments de P () sont appelés évènements. o Les singletons { } sont les évènements élémentaires. DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 1/7 Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable • Définition : On appelle probabilité définie sur l’espace probabilisable toute application P de P () dans [0,1] vérifiant les 2 axiomes : 1. P () = 1 2. Pour toutes parties A et B de P () telles que AB = ∅ , P(A∪B) = P(A) + P(B). Le triplet et est appelé espace probabilisé fini. Caractérisation En investissement, l’avenir probabiliste est une situation dans laquelle il est possible de déterminer toutes les valeurs que peut prendre le cash-flow relatif à un exercice donné et d’affecter une probabilité à chacune de ces valeurs. Ce cash-flow devient une variable aléatoire (X) dont on connaît la loi. I - Le critère « espérance variance » On peut alors calculer l’espérance de la VAN, sa variance et son écart-type. • E(VAN) : évalue la rentabilité. • V(VAN) et σVAN donnent la mesure du risque. En pratique on ne retient que 3 hypothèses (optimiste, moyenne et pessimiste). 1. Exemple 1 On considère deux projets de capital investi 100 (en milliers) et d’une durée de 3 ans. Chaque cash-flow a fait l’objet de 3 évaluations. On suppose que les cash-flows sont indépendants et que le coût du capital est de 10%. 0 1 2 3 -100 000 (en milliers) Année 1 Année 2 Année 3 Projet 1 C1 P(C1) C2 P(C2) C3 P(C3) 60 0.3 50 0.4 60 0.4 70 0.4 60 0.3 60 0.3 80 0.3 70 0.3 70 0.3 Projet 2 C’1 P(C’1) C’2 P(C’2) C’3 P(C’3) 30 0.3 50 0.4 40 0.4 62 0.5 80 0.4 50 0.2 90 0.2 100 0.2 120 0.4 • Calcul de la VAN 1 : VAN1 = C11.1 – 1 + C21.1 – 2 + C31.1 – 3 – 100 (en milliers) Les cash-flows Ci sont des variables aléatoires, donc la VAN est une combinaison linéaire de variables aléatoires, c’est donc elle-même une v.a. DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 2/7 Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable • Calcul de l’espérance de la VAN 1 et de la variance E(VAN1) = E(C1)1.1 – 1 + E(C2)1.1 – 2 + E(C3)1.1 – 3 – 100 V(VAN1) = V(C1)1.1 – 2 + V(C2)1.1 – 4 + V(C3)1.1 – 6 o “A la main” C1 P(C1) C1P(C1) C1² C1²P(C1) 60 0.3 18 3600 1080 70 0.4 28 4900 1960 80 0.3 24 6400 1920 Somme 70 4960 Espérance C2 P(C2) C2P(C2) C2² C2²P(C2) 50 0.4 20 2500 1000 60 0.3 18 3600 1080 70 0.3 21 4900 1470 Somme 59 3550 Espérance Espérance (C2) = 59 Variance (C2) = 69 C3 P(C3) C3P(C3) C3² C3²P(C3) 60 0.4 24 3600 1440 60 0.3 18 3600 1080 70 0.3 21 4900 1470 Somme 63 3990 Espérance Espérance (C3) = 63 Variance (C3) = 21 Donc E(VAN1) = E(C1)1.1 – 1 + E(C2)1.1 – 2 + E(C3)1.1 – 3 – 100 E(VAN1) = 701.1 – 1 + 591.1 – 2 + 631.1 – 3 – 100 V(VAN1) = V(C1)1.1 – 2 + V(C2)1.1 – 4 + V(C3)1.1 – 6 DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 3/7 Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable o Utilisation de la calculatrice La plupart des calculatrices calculent cela. Pour cela sélectionnez le menu STAT – 2 VAR puis entrez les données dans le tableau et tout se calcule automatiquement. Avec la HP 10BII, par exemple pour le calcul de C1 • CL Σ • 60 INPUT 0.3 Σ+ • 70 INPUT 0.4 Σ+ • 80 INPUT 0.3 Σ+ • , ► donne la moyenne donc l’espérance : 70 • σxσy ► donne l’écart type : 8.1650 et donc V(C1) = 8.1650² ≈ 66.7 ( problème !!) Exercice 1: Evaluation des investissements en avenir incertain Calculer E(VAN2) , V (VAN2) et σVAN2 et comparer les projets de l’exemple 1 du Chapitre 7 et comparer les projets II – L’arbre de décision 1. Définition C’est un arbre de probabilité (ou schéma) établi lorsque l’entreprise est confrontée à des décisions multiples et séquentielles en matière d’investissement. Il permet de visualiser l’ensemble des choix et donc de faciliter une évaluation financière diagnostique. 2. Méthode On indique : • Les nœuds décisionnels par des carrés, • Les nœuds d’évènements par des cercles. Exemple : Une entreprise doit choisir entre 3 projets, évalués sur une durée de 4 ans, en tenant compte des 2 évènements suivants : E1 : l’activité reste stable ou légèrement en progression (probabilité 0,6) E2 : l’activité à tendance à régresser (probabilité 0,4) Projet 1 (en kilos euros) • Investissement o Date 0 : de 6 000 o Date 1 : extension de l’investissement de 3 000 si E1 • Cash-flows estimés o Fin de la 1ère année 2 000 o Cash-flows suivants :  Si extension : 3 500 si E1 et 3 000 si E2  Sinon, 2 300 si E1 et 2 000 si E2 • Si à la date 1, E1 n’est pas vérifiée, cash-flows annuels prévus de 2 000 Projet 2 (en kilos euros) • Investissement global dès le départ de 8 000 • Cash-flows annuels estimés 2 800 si E1 et 2 500 si E2 Projet 3 (en kilos euros) On renonce à tout investissement DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 4/7 Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable Coût du capital 10% I = 80000 soit E(VAN ) = 2800× × 0.6 + 2500 × × 0.4 – 8000 = 495,24 Et pour I = 0, E(VAN) = 0 Conclusion : On doit réaliser un investissement de 6 000 à la date 0, sans extension à la date 1 DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 5/7 Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 6/7 Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 7/7 uploads/Finance/ chap7-stat-proba-invest-en-avenir-proba.pdf