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Universit´ e Claude Bernard Lyon I Licence STS troisi` eme ann´ ee : topologie

Universit´ e Claude Bernard Lyon I Licence STS troisi` eme ann´ ee : topologie Lundi 9 juin 2008 Examen de topologie Dur´ ee : 3H00. Aucun document autoris´ e Bar` eme indicatif : 22 points. Questions de cours Traiter une et une seule des questions suivantes. 1. Montrer que dans un espace m´ etrique toute suite de Cauchy est born´ ee. 2. Montrer que tout espace m´ etrique compact est complet. Exercice 1 Soit (X, d) un espace m´ etrique. On rappelle que d: X × X →R est continue. Soit K ⊂X, K ̸= ∅. On note diam(K) def = supx,y∈K d(x, y). 1. Enoncer le th´ eor` eme de Weierstrass. En d´ eduire que si K est compact, alors le diam` etre de K est r´ ealis´ e, c’est ` a dire, ∃x, y ∈K tels que d(x, y) = diam(K). 2. Soit A ⊂X un ensemble non vide. On suppose que ∀a, a′ ∈A, avec a ̸= a′, on a d(a, a′) ≥1. Montrer que A est ferm´ e dans X. 3. Dans cette question on prend (X, d) = (ℓ∞, ∥· ∥∞), o` u ℓ∞= {(xn) ⊂R: ∥(xn)∥∞ def = sup n∈N |xn| < ∞}. Pour n ∈N on note ⃗ en ∈ℓ∞la suite ⃗ en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .). On consid` ere l’ensemble A ⊂ℓ∞ d´ eﬁni par A = n 3n n + 1⃗ en : n ∈N o . (a) Montrer que A est ferm´ e et born´ e dans (ℓ∞, ∥· ∥∞) (on pourra se servir du r´ esultat de la question pr´ ec´ edente). (b) Etablir si le diam` etre de A est r´ ealis´ e. Etablir si A est compact. T.S.V.P. 1 Exercice 2 On d´ esigne par E = C([0, 1], R) l’espace des applications continues de [0, 1] dans R, muni de la norme ∥f∥∞= supx∈[0,1] |f(x)|. Pour f ∈E, on pose T(f)(x) = 1 2 h 1 + Z 1 0 xesxf(s) ds i , x ∈[0, 1]. 1. Montrer que l’application x 7→T(f)(x) est lipschitzienne dans [0, 1]. Conclure que T(t) ∈E. 2. Montrer que T : E →E est une contraction et en d´ eduire qu’il y a une et une seule fonction ˜ f ∈E telle que Z 1 0 xesx ˜ f(s) ds = 2 ˜ f(x) −1 ∀x ∈[0, 1]. 3. Trouver une constante R > 0 telle que ∥˜ f∥∞≤R. Exercice 3 Soit (E, ∥· ∥) un espace vectoriel norm´ e, E ̸= {0}. Soit φ: R+ →R. 1. Montrer que l’application f : E →R d´ eﬁnie par f(x) = φ(∥x∥) est uniform´ ement continue si et seulement si φ est uniform´ emement continue dans R+. 2. Pour quelles valeurs de α ∈R+,∗l’application f : E →R d´ eﬁnie par f(x) = ∥x∥α est-elle uni- form´ ement continue ? 2 Corrig´ e de l’examen de Topologie du 9 juin 2008 Question de cours 1. Soit (X, d) un espace m´ etrique compact. Soit (xn) ⊂X une suite de Cauchy. Alors ∀ϵ > 0, ∃n0 ∈N tel que si n, m ≥n0 on a d(xn, xm) < ϵ. On applique ceci avec ϵ = 1. On peut trouver n0 tel que d(xn, xn0) < 1 pour tout n ≥n0. Soit R = maxm=0,...,n0 d(xm, xn0) et ˜ R = max{R, 1}. On alors (xn) ⊂B(xn0, ˜ R). Ceci montre que (xn) est born´ ee. 2. Soit (xn) une suite de Cauchy de X. Comme (X, d) est compact, on peut extraire de (xn) une suite (xnk) qui convergente dans X vers un point x ∈X. Mais alors x est une valeur d’adh´ erence de la suite (xn). Les propri´ et´ es des suites de Cauchy impliquent alors que xn →x. Cela montre que (X, d) est complet. Exercice 1 1. Le th´ eor` eme de Weierstrass aﬃrme que toute fonction continue f : X →R d´ eﬁnie dans un espace m´ etrique compact poss` ede minimum et maximum absolu : ∃a, b ∈X tels que f(a) = infx∈X f(x) et f(b) = supx∈X f(x). On applique ceci ` a la fonction d: K × K →R, que l’on sait ˆ etre continue lorsqu’on munit K × K de la distance produit. On sait ´ egalement que K × K est compact. Il existe alors b = (x0, y0) ∈K × K tel que d(x0, y0) = supx,y∈K d(x, y) = diam(K). 2. Soit x ∈A. Alors il existe (an) ⊂A telle que an →x. En particulier, (an) est de Cauchy, et donc ∃n0 ∈N tel que d(an0, an) < 1 pour tout n ≥n0. Cela implique an = an0 pour tout n ≥n0 et donc x = an0 ∈A. Cela montre que A est ferm´ e. 3. (a) Soit n ∈N, On pose ⃗ αn = 3n n+1⃗ en ∈A. On a ∥⃗ αn∥∞= 3n n+1 < 3 donc A est born´ e. Si n ̸= m ∈N, alors ∥⃗ αn −⃗ αm∥∞= max{ 3n n+1, 3m m+1}.. Cela montre que 1 ≤3 2 ≤∥⃗ αn −⃗ αm∥∞< 3, n ̸= m, n, m ∈N. (∗) Le r´ esultat de la question 2 implique que A est ferm´ e. (b) L’in´ egalit´ e de droite ci-dessus montre que diam(A) ≤3. R´ eciproquement, on note que ⃗ 0 = (0, 0 . . .) ∈A. Ainsi, diam(A) ≥∥⃗ αn −⃗ 0∥∞= ∥⃗ αn∥∞. Mais ∥⃗ αn∥∞→3 pour n →∞et donc diam(A) ≥3. Cela montre que diam(A) = 3, mais le diam` etre de A n’est pas r´ ealis´ e, comme (∗) le montre. Le r´ esultat de la premi` ere question implique que A n’est pas compact. Exercice 2 1. Si x, x′ ∈[0, 1], on a |T(f)(x) −T(f)(x′)| ≤1 2 Z 1 0 |xesx −x′esx′| |f(s)| ds ≤1 2∥f∥∞ Z 1 0 |xesx −x′esx′| ds. Mais l’in´ egalit´ e des accroissements ﬁnis, appliqu´ ee ` a la fonction x 7→xesx (o` u s ∈[0, 1] est trait´ e comme un param` etre) montre que |xesx −x′esx′| ≤2e|x −x′|. Donc T(f): [0, 1] →R est lipschitzienne. En particulier, T(f) ∈E. 3 2. Si f, g ∈E, et x ∈[0, 1], on a |T(f)(x) −T(g)(x)| ≤1 2 Z 1 0 xesx|f(s) −g(s)| ds ≤∥f −g∥∞ 2 Z 1 0 xesx ds. Donc ∥T(f) −T(g)∥∞≤1 2(e −1)∥f −g∥∞. Comme e < 3, le coeﬃcient est inf´ erieur ` a 1, ce qui assure que T : E →E est une contraction. Rappelons que (E, ∥· ∥∞) est un espace de Banach. Le th´ eor` eme des contractions implique qu’il existe une et une seule ˜ f ∈E telle que T( ˜ f) = ˜ f. Ceci ´ equivaut ` a Z 1 0 xesx ˜ f(s) ds = 2 ˜ f(x) −1, ∀x ∈[0, 1]. 3. Supposons f ∈E, ∥f∥∞≤R. Alors ∥T(f)∥∞≤1 2 + 1 2∥f∥∞ Z 1 0 xesx dx ≤1 2 + R 2 (e −1). On veut ∥T(f)∥∞≤R. Ceci sera assur´ e par l’in´ egalit´ e ci-dessus d` es que R ≥ 1 3−e. Ce calcul montre que T : B(0, 1 3−e) →B(0, 1 3−e). Mais B(0, 1 3−e) est complet (parce qu’il est ferm´ e de E, qui est complet). Le th´ eor` eme de point ﬁxe s’applique alors aussi dans B(0, 1 3−e). L’unicit´ e du point ﬁxe dans E assure alors que ∥˜ f∥∞≤ 1 3−e. Voici une autre m´ ethode : T(0) = 1 2 (la fonction constante ´ egale ` a 1 2). Donc ∥˜ f −1 2∥∞= ∥T( ˜ f) −T(0)∥∞≤e −1 2 ∥˜ f∥∞. D’o` u, ∥˜ f∥∞≤∥˜ f −1 2∥∞+ 1 2 ≤e−1 2 ∥˜ f∥∞+ 1 2. On retrouve la mˆ eme conclusion qu’avant :∥˜ f∥∞≤ 1 3−e. Exercice 3 1. Si φ: R+ →R est uniform´ ement continue, alors pour s, t ∈R+ : ∀ϵ > 0 ∃δ > 0 t.q. |s −t| < δ = ⇒|φ(s) −φ(t)| < ϵ. (1) Observons que si x, y ∈E, on a ∥x∥−∥y∥ ≤∥x −y∥. On peut alors prendre dans la d´ eﬁnition de continuit´ e uniforme pour f (voir ci-dessous) le mˆ eme δ > 0 pour conclure que f : E →R est uniform´ ement continue. R´ eciproquement, si f : E →R est uniform´ ement continue, on a pour x, y ∈E : ∀ϵ > 0 ∃δ > 0 t.q ∥x −y∥< δ = ⇒|f(x) −f(y)| < ϵ. (2) Cela est vrai, en particulier, pour x = sx0 et y = tx0, o` u s, t ∈R+ et x0 ∈E v´ eriﬁe ∥x0∥= 1 (on utilise ici que E ̸= {0}). En rempla¸ cant f(x) = φ(∥x∥) on trouve (1). 2. Montrons que la fonction : R+ →R, d´ eﬁnie par φ(t) = tα est uniform´ emement continue si α ∈ (0, 1]. En eﬀet elle est continue dans R+ est donc uniform´ ement continue dans le compact [0, 1] (th´ eor` eme de Heine) ; elle est α-lipschitzienne (et donc uniform´ ement continue) dans [1, ∞), comme on peut le voir uploads/Finance/ corrige-examen-2008.pdf