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1 Cours: Gestion de portefeuille Th. Chauveau B.Maillet E.Jurczenko Ph. Spieser

1 Cours: Gestion de portefeuille Th. Chauveau B.Maillet E.Jurczenko Ph. Spieser 2 • Deuxième Partie • Théorie de l’utilité cardinale et construction de l’hypothèse d’espérance d’utilité 3 Théorie de l'utilité cardinale: l'hypothèse d'espérance d'utilité INTRODUCTION • L’objet de la théorie financière est la question de la valorisation des actifs financiers risqués. On a étudié les choix de consommation intertemporels en certitude pour souligner que la préférence pour le présent est un déterminant important du prix du temps. • De la même façon, il faut étudier les choix de portefeuilles des investisseurs plongés dans un univers risqué pour en déduire ce qui détermine le prix du risque et les primes de rentabilité attendues des actifs financiers plus ou moins risqués. Cette partie présente la formalisation adoptée pour modéliser les comportements de choix dans les contextes d'incertitude. • Le modèle canonique ou « de base » des choix en incertain est l'hypothèse d'espérance d'utilité. • Dans cette hypothèse, l'évaluation d'un jeu x qui peut rapporter (x 1, x 2, ... x n.) unités monétaires avec les probabilités (p(x 1), p(x 2), .... p(x n)) est fondée sur le calcul de l'espérance mathématique d'une utilité des différents résultats possibles, soit : 4 Théorie de l'utilité cardinale: l'hypothèse d'espérance d'utilité     N i i i x u x p x U 1 ) ( L'individu placé en situation de choix se comporte alors comme s'il cherche toujours à maximiser cette espérance d'utilité. 5 Théorie de l'utilité cardinale: l'hypothèse d'espérance d'utilité Cette idée (1738, D. Bernoulli,) répond au célèbre paradoxe de Saint‑Pétersbourg. La base de ce paradoxe, posé au début du XVIIIe siècle par Nicolas Bernoulli, est un simple jeu de pile ou face, qui consiste à lancer une pièce en l'air et à recevoir 2 n ducats lorsque face apparaît pour la première fois au n‑ième coup. Dès que face apparaît, le gain est empoché et le jeu achevé. Utilisant le principe (Pascal) de maximisation de l'espérance mathématique de gain, N. Bernoulli était frappé de constater que personne n'acceptât de verser une grosse somme d'argent pour obtenir le droit de jouer, alors que l'espérance mathématique de gain E de ce jeu est infinie : Daniel Bernoulli émit donc l'idée que la « valeur » d'un gain de 2 000 ducats n'était pas forcément égale au double de la « valeur » d'un gain de 1000 ducats.             1 2 2 1 n n n E 6 (Suite) Par conséquent, il proposa une résolution de ce paradoxe fondée sur l'introduction d'une fonction d'utilité des résultats monétaires, caracté- risée par une dérivée première positive et une dérivée seconde négative (c'est la notion de l'utilité marginale des gains décroissante, cf infra). Ainsi, la « valeur » du jeu de Saint-Pétersbourg devient : Dans son explication, D. Bernoulli suggéra de retenir une fonction d'utilité logarithme, pour laquelle l'« utilité » du jeu est égale à Ln[4]. La somme de quatre ducats, euros, dollars… étant beaucoup plus proche de ce que tout individu était prêt à payer pour jouer, le paradoxe était par là même résolu.             1 2 2 1 n n n u x U 7 • Toutefois, la résolution n'est pas aussi simpliste qu'il y paraît et l'hypothèse d'espérance d'utilité doit en fait sa légitimité aux travaux de von Neumann et Morgenstern (1947) [désormais : von NM]. • En effet, de même que la théorie de l'utilité ordinale axiomatise les choix de l'individu en certitude et énonce les conditions sous lesquelles ses préférences peuvent être avantageusement représentées par une fonction d'utilité, de même il faut analyser les conditions dans lesquelles les préférences d'un individu en situation de choix risqué sont représentables par une mesure d'espérance d'utilité. • Cette partie est donc organisée de la façon suivante. – Les axiomes à la base de la théorie de l'utilité cardinale d’abord. – Ensuite , on étudie la démonstration de l'hypothèse d'espérance d'utilité. – Puis, on examine les propriétés de la fonction d'utilité dite de von NM. – Ensuite, on indique la manière dont cette fonction se présente lorsque les choix à réaliser portent sur plusieurs périodes. – Enfin, petite discussion terminale. 8 1-Axiomatique des préférences dans un environnement incertain • On considère une économie dans laquelle il y a seulement deux dates : la date 0 (pour l'instant immédiat) et la date 1 (pour le futur). • L'incertitude est modélisée par une incertitude quant aux états de la nature qui peuvent se produire à la date 1. En d'autres termes, les objets du choix sont des loteries dont les résultats sont aléatoires. • Il faut entendre ici loterie au sens large ; une loterie peut tout aussi bien être un jeu traditionnel que concerner par exemple le niveau de la récolte de blé dans un mois, ou encore la performance d'un portefeuille d'actions. • Par conséquent, les outils premiers de la théorie sont : – les états de la nature possibles – la description des loteries. 9 1-Axiomatique des préférences dans un environnement incertain 1. LES ÉTATS DE LA NATURE • Un état de la nature est une description complète de l'environnement des individus. • On désigne par Ω l'ensemble de tous les états de la nature possibles à la date 1, (ω représentant un élément de Ω ). • L'incertitude est alors modélisée de la façon suivante : on suppose que tout individu sait, à la date 0, que l'état de la nature qui prévaudra à la date 1 appartient à Ω , mais qu'il ne connaît qu'en probabilité celui qui se réalisera effectivement. 10 2. LES LOTERIES • En raison de l’incertitude, les choix des individus s'exercent entre des loteries. Chaque loterie est définie comme une application qui associe à l'espace des états de la nature des quantités d'un bien quelconque. • Par exemple, si 3 états de la nature sont envisageables, on peut représenter toute loterie x = [w, p] par un vecteur w = (x 1 x 2, x 3,) dont chaque composante x ω indique les quantités du bien reçues lorsque l'état ω(ω = 1, 2, 3) se produit et un vecteur p = (p 1, p2, p3) de probabilités pour ces différents états de la nature (. ) • Puisqu'un seul état de la nature peut intervenir à la date 1, une loterie x s'interprète également comme une variable aléatoire caractérisée par sa distribution de probabilité. Si P représente la mesure de probabilité (objective) qui est définie sur les éléments de 0, la fonction de répartition de la variable x est avec z élément de Z, où Z est l'ensemble des résultats possibles. Si Z est un ensemble fini, toute distribution de probabilité définie sur cet ensemble est discrète. Une loterie x peut donc être représentée par une fonction p telle que p(z) est la probabilité que x soit égal à z, avec p(z)>ou = à 0 pour tout z élément de Z et ,sa fonction de répartition étant donc donnée par • Lorsque le résultat d'une loterie est certain, ce qui se produit lorsque x ω = z quel que soit ω, la distribution de probabilité de cette loterie est dite dégénérée au point z, au sens où p(z) = 1 et p(z') = 0 pour tout z' # z.   3 1 1   p      z z x z p z F ' '    z w P z Fx       :   Z z z p 1 ) ( 11 1-Axiomatique des préférences dans un environnement incertain 3. DE L'HYPOTHÈSE D'ESPÉRANCE D'UTILITÉ • Soit X la collection de loteries à laquelle l'individu est confronté et « ≥ » la relation de préférence de cet agent. • On a vu (cf: dernier cours) les conditions sous lesquelles cette relation de préférence peut être représentée par une fonction d'utilité ordinale. • Par exemple, si X a un nombre fini d'éléments, il suffit que l'individu ait une certaine « cohérence » dans ses choix au sens des axiomes 1 et 2 (cf: supra). • On sait alors qu'il existe une fonction U(.) définie sur X et à valeur dans R telle que, pour tout x, y Є X, x ≥ y si et seulement si U(x) ≥ U(y). • En d'autres termes, les préférences de l'individu se manifestent par le fait que l’utilité de la loterie x est supérieure à celle de la loterie y si et seulement si cet individu préfère x à y. 12 1-Axiomatique des préférences dans un environnement incertain • Pour modéliser, cette fonction d'utilité est malheureu- sement d'un maniement peu aisé dans les contextes d'incertitude. • Cependant, les travaux de von N M1947 ont montré que l'on peut ‑ sous certaines conditions ‑ associer un indice d'utilité à chacun des résultats possibles des loteries et exprimer alors la fonction U(.) par une simple mesure d'espérance d'utilité. • uploads/Finance/ cours-gestion-de-portefeuille-th-chauveau-b-maillet-e-jurczenko-ph-spieser.pdf