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MPSI/PCSI SI, cours sur la statique 1/16 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P

MPSI/PCSI SI, cours sur la statique 1/16 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS) La statique, c’est l’étude des équilibres mécaniques. On cherche à définir et à calculer les actions mécaniques appliquées sur un système matériel en équilibre. I. DEFINITIONS. Exemple : Ponceuse La figure représente le schéma cinématique d’une ponceuse électro-portative. Elle est animée par un moteur électrique dont le rotor entraîne en rotation l’arbre (2). La rotation continue du moteur est transformée en rotation alternative de faible débattement du solide (4). Système isolé (ou ensemble isolé) : On isole un système en définissant les éléments qui le composent. Dans l’exemple : On peut isoler l’ensemble formé par les solides 2, 3 et 4. Efforts extérieurs : Ce sont les efforts exercés sur le système isolé par son environnement. Dans l’exemple :  Action de la pesanteur (négligé).  Action du bâti 1 sur 2 (pivot au point K).  Action du bâti 1 sur 4 (pivot au point C).  Action du moteur sur le solide 2.  Action de la pièce à poncer sur le solide 4. On parle de Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : « BAME ». Efforts intérieurs : Ce sont les efforts exercés entre les éléments du système isolé. Dans l’exemple : Action de 2 sur 3, action de 3 sur 4. MPSI/PCSI SI, cours sur la statique 2/16 Remarque : On peut représenter les efforts sur le graphe de structure. Ce graphe est appelé le graphe des actions mécaniques. II. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS). Si un solide ou un ensemble de solides (E) est en équilibre dans un référentiel galiléen, alors le torseur de la somme des efforts extérieurs exercés sur (E) est nul. A A A A M F E E 0 0 0 ) (                            Théorème des actions réciproques L’action mécanique d’un système matériel E1 sur un système matériel E2 est opposée à l’action mécanique de E2 sur E1 : (actions réciproques)     A A E E E E 2 1 1 2       Théorème de la résultante statique (TRS). Pour un système matériel en équilibre par rapport à un repère galiléen Rg, la résultante du torseur des Actions Mécaniques Extérieures à E est nulle : 0 ) (    E E F Théorème du moment statique (TMS). Pour un système matériel en équilibre par rapport à un repère galiléen Rg, le moment du torseur des Actions Mécaniques Extérieures à E est nul. 0 ) ( ) (     A M E E MPSI/PCSI SI, cours sur la statique 3/16 Remarques :  On n'isole jamais le bâti.  Les actions mécaniques intérieures ne sont pas prises en compte lors de l’écriture du principe fondamental de la statique.  Les torseurs doivent être exprimés au MEME point. III. METHODE DE RESOLUTION DUN PROBLEME DE STATIQUE. 1. Viabilité d'une modélisation en vue d'une étude de statique L'étape préalable à la résolution d’un problème de statique consiste à modéliser les actions mécaniques, en particulier les actions de liaisons. Avant toute tentative de résolution, il est nécessaire de s'assurer que le problème modélisé peut être résolu avec les équations du PFS. Dans ce cas, on parle de mécanisme isostatique. Dans le cas contraire, on parle de mécanisme hyperstatique. Le degré d'hyperstatisme h correspond aux nombres de degrés de libertés de liaisons qui sont supprimés plus d'une fois (liaisons surabondantes). On a : s s E I m h    s I : Nombre d'inconnues statiques de liaisons. ) 1 .( 6   n Es : Nombre d'équation. n : nombre de solides i u m m m   : Nombre de mobilité du mécanisme. u m : Nombre de mobilité utile (par exemple la relation entrée sortie). i m : Nombre de mobilité inutile. Remarque Dans la majorité des problèmes qui vous sont posés :  La modélisation des liaisons est donnée (sous forme de schéma cinématique).  Le mécanisme est isostatique (on peut résoudre en utilisant le PFS). MPSI/PCSI SI, cours sur la statique 4/16 Exemple : Ponceuse électro-portative. s s E I m h    2. Méthode de résolution systématique (informatique). La méthode systématique consiste à isoler chaque solide individuellement de façon à écrire la totalité des équations disponibles. C’est la méthode employée par les logiciels de simulation numérique. Pour chaque isolement la démarche est la même :  Etablir le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME).  Ecrire le PFS pour chaque solide.  Réduire en un point quelconque les torseurs d’action mécanique.  Projeter dans une base quelconque pour obtenir un système d’équations scalaires à résoudre. Dans une résolution informatique, le système de n équations linéaires à n inconnues peut être résolu par des méthodes numériques. Dans le cas d'une résolution analytique « manuelle », cette méthode devient rapidement inappropriée car le nombre d'équations devenir important. 3. Méthode de résolution analytique (calculs manuels) En pratique, seules certaines inconnues d’actions mécaniques sont recherchées. On cherche alors à écrire le minimum d’équations permettant de relier ces inconnues aux données. Etapes :  Analyser le mécanisme modélisé (schéma cinématique + informations sur les actions mécaniques).  Proposer un isolement ou une série d'isolements qui permet de parvenir au résultat recherché. MPSI/PCSI SI, cours sur la statique 5/16 4. Simplifications dans le cas d'un problème plan. On peut admettre qu'un problème est « plan » :  Si le système matériel possède un plan de symétrie.  Si les A.M. extérieures exercées sur ce système sont symétriques par rapport à un plan Dans ce cas :  Les résultantes des A.M. extérieures sont dans le plan (Fx, Fy).  Les moments des A.M. extérieures sont perpendiculaires au plan (Mz). x y z F2 F2 F1 F1 P x y P 2F2 2F1 O Exemple : Simplification du Torseur d’action mécanique dans un problème plan : Il subsiste dans un problème plan:  Les composantes de la résultante contenues dans le plan de symétrie.  La composante du moment portée par l’axe perpendiculaire au plan de symétrie. Dans notre exemple, le plan de symétrie est ) , , ( y x O   . Allure générale (3D) :           21 21 21 21 21 21 ) 1 2 ( ) , , ( N Z M Y L X z y x A  6 inconnues Allure simplifiée (2D) :           21 21 21 ) 1 2 ( 0 0 0 ) , , ( N Y X z y x A  3 inconnues L’application du PFS sur un solide ou un ensemble de solides dans le plan permet d’obtenir 3 équations.  Deux équations de résultante en projection sur les axes x  et y  (dans l'exemple)  Une équation de moment en projection sur l'axe z  (dans l'exemple). Remarque : 90% des problèmes de statique qui vous sont posés sont des problèmes plans. MPSI/PCSI SI, cours sur la statique 6/16 Exemples de problèmes plans : Scooter sur une pente : Robot KUKA MPSI/PCSI SI, cours sur la statique 7/16 5. Cas particuliers d’équilibre. 5.1. Solide soumis à l’action de 2 glisseurs (2 forces). Exemple : Equilibre d’un vérin de la plateforme 6 axes Remarques : On néglige la pesanteur. Ces 2 actions sont des forces (glisseurs) On applique le PFS : Equation des résultantes : 0      B A F F  Les 2 forces sont opposées Equation des moments : 0 ) ( ) (        A M A M B A F F B F F F AB B M A M B B         ) ( ) (  0 0       B F AB  B F  sur AB (idem pour A F  ) Conclusion : Si un solide (ou ensemble de solides) est en équilibre soumis à l’action de 2 forces, ces 2 forces sont égales et directement opposées. MPSI/PCSI SI, cours sur la statique 8/16 5.2. Solide soumis à l’action de 3 glisseurs (3 forces). Exemple : Equilibre d’un vérin de la plateforme 6 axes Remarques : On ne néglige plus la pesanteur. Ces « actions sont des forces (glisseurs) 0        G B A F F F 0 ) ( ) ( ) (           A M A M A M G B A F F F 0        G B F AG F AB  0      G B u u ) , , ( B uploads/Finance/ cours-statique-2-pdf.pdf