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Devoir de L A T EX Nom et Prénom 24 juillet 2021 Résumé L’exman consiste à repr

Devoir de L A T EX Nom et Prénom 24 juillet 2021 Résumé L’exman consiste à reproduire ,en utilisant T EXstudio ,les deux pages du sujet. un cours complet sur les EDP voire [1, 2]. Table des matières 1 Espace fonctionnelles 10 2 Espaces mesurables 10 3 Une application de T.F 10 4 Un problème d’évolution 11 Références 11 1 Espace fonctionnelles Soit E un espace de Banach de norme ∥.∥E et 1 ≤p ≤+∞ Exercice 1.1 Soit θ ∈Lp(0, T) et v ∈E.Démonter que η(t, x) = θ(t)v(x) ∈Lp(0, T; E). 2 Espaces mesurables Déﬁnition 2.1 Soit X un ensemble. On appelle tribu sur X une famille M de parties de X possédant les propriétés suivantes : i) X ∈M ii) Si A ∈M, alors Ac ∈M iii) Si An ∈M, ∀n ∈N, alors ∪ n∈N An ∈M Les éléments de M sont appelésles parties mesurables de X. 3 Une application de T.F Soit α ∈R et h ∈S. Exercice 3.1 Appliquer la T.F. pour résoudre le probléme ∂tW = ∂xxW + αW, pour tout x ∈R, t > 0 et w(x, 0) = h(x) Deduire que v = e−αwest solution dee l’ équation de la chaleur . 4 Un problème d’évolution Soit β > 0.On considèdre le probléme suivant    ∂t −∂xxW + βW = 0 (x, t) ∈]0, 1[×[0, ∞[, W(0, t) = W(1, t) = 0 ∀t > 0, W(x, 0) = h(x) ∀x ∈]0, 1[. (4.1) Exercice 4.1 1. Donner la faible du probléme 4.1. 2. Démontrer que d dt ( e2βt ∥W(t)∥2 L2(0,2) ) ≤0. (4.2) 3. Déduire de 4.2 que ∥W(t)∥2 L2(0,2) ≤e−2β ∥h∥2 L2(0,1) , ∀t > 0. (4.3) [1] Références [1] S.SASLSA. PDF IN ACTION. springer, 2009 [2] W.STRAUSS,An Introdution to PDF.2 ed, 2010 Good L AT EX 11 uploads/Finance/ devoir-de-latex 1 .pdf