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1 Cours de Mathématiques Financières 2 Objectif du cours Ce cours vise à présen

1 Cours de Mathématiques Financières 2 Objectif du cours Ce cours vise à présenter les différents éléments du calcul financier et d’expliquer la notion de la valeur temporelle de l’argent. Il fait apparaître principalement cinq préoccupations : La différence entre les différents types d’intérêts (intérêt simple, intérêt composé). La différence entre les situations d’actualisation et de capitalisation. La méthode de calcul de la valeur future et la valeur présente d’une somme ou d’une suite d’annuités. Les grands domaines d’application du calcul financier. Les tableaux d’amortissement des emprunts. 3 Contenu du cours Pour atteindre les objectifs d’apprentissage, le contenu du cours est structuré en cinq chapitres : Chapitre 1 : Intérêt, Capitalisation et Actualisation. Chapitre 2 : Les annuités. Chapitre 3 : Les emprunts indivis Chapitre 4 : Les emprunts obligataires Chapitre 5 : Les crédits de Court Terme. Chacun des chapitres comporte des applications permettant à l’étudiant de bien assimiler le contenu du cours. Des exercices et des problèmes à la fin de chaque chapitre permettront à l’étudiant de tester ses connaissances. 4 Référence bibliographique ANSION G. et HOUBEN T., Mathématiques financières, Armand Colin, 1989. BOISSONADE M., Mathématiques financières, Armand Colin, 1998. BONNEAU P. et WISZNIAK M., Mathématiques financières approfondies, Dunod, 1998. CHOYAKH M., Mathématiques financières, CLE, 1998. DEFFAINS-CRAPSKY C., Mathématiques financières, Bréal, 2003. ELLOUZE A., Mathématiques financières, CLE, 2000. HELLARA S., Mathématiques financières, Ets. Ben abdellah, 1997. JUSTENS D. et ROSOUX J., Introduction à la mathématique financière, De Boeck University, 1995. MASEIRI W., Mathématiques financières, Sirey, 1997. PIERMAY M., LAZIMI A. et HEREIL O., Mathématiques financières, Economica, 1998. QUITTARD-PINON F., Mathématiques financières, ems, 2002. SRAIRI S., Manuel de mathématiques financières, CLE, 1997. 5 Premier chapitre Intérêt, Capitalisation et Actualisation 6 1. Définition et justification de l’intérêt 1.1 Définition de l’intérêt 7 L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un prêt d’argent. C’est le prix à payer par l’emprunteur au prêteur, pour rémunérer le service rendu par la mise à disposition d’une somme d’argent pendant une période de temps. L’intérêt simple concerne essentiellement les opérations à court terme. Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l’intérêt : la somme prêtée, la durée du prêt, et le taux auquel cette somme est prêtée. Il y a deux types d’intérêt : l’intérêt simple et l’intérêt composé 8 1.2 Justification de l’intérêt 9 ►La privation de consommation: Lorsqu’une personne (le prêteur) prête une somme d’argent à une autre (l’emprunteur), elle se prive d’une consommation immédiate. Il est ainsi normal qu’elle reçoive en contrepartie une rémunération de la part de l’emprunteur pour se dédommager de cette privation provisoire. 10 ►La prise en compte du risque: Une personne qui prête de l’argent, le fait pour une durée étalée dans le temps. Elle court, dès lors, un risque inhérent au futur. La réalisation de ce risque résulte au moins des éléments suivants : 11 ♣ L’insolvabilité de l’emprunteur : dans le cas où l’emprunteur se trouve incapable de rembourser sa dette, lorsque celle-ci vient à échéance, le prêteur risque de perdre l’argent qu’il a déjà prêté. Il est alors normal qu’il exige une rémunération pour couvrir le risque encouru et dont l’importance sera appréciée en fonction de la probabilité de non remboursement. ♣ L’inflation : entre la date de prêt et la date de remboursement, la valeur du prêt peut diminuer à la suite d’une érosion monétaire connue également sous le nom d’inflation. Le prêteur peut donc exiger une rémunération pour compenser cet effet. 12 2. Capitalisation et Actualisation 13 2.1 Principe D’après ce qui précède, le taux d’intérêt apparaît comme le taux de transformation de l’argent dans le temps. Cette relation entre temps et taux d’intérêt signifie que deux sommes d’argent ne sont équivalentes que si elles sont égales à la même date. Dès lors, pour pouvoir comparer deux ou des sommes disponibles à différentes dates le passage par les techniques de calcul actuariel (capitalisation et actualisation) devient nécessaire. 14 2.2 L’actualisation L’actualisation est une technique qui consiste à faire reculer dans le temps une valeur future pour calculer sa valeur présente appelée Valeur Actuelle. La valeur actuelle C0 d’une somme d’argent C1 disponible dans une année et placée au taux i, est donnée par la formule suivante: 15 n n i c c    ) 1 ( 0 n t 0 t ? 0  c n c n n i c c    ) 1 ( 0 16 2.3 Capitalisation Contrairement à l’actualisation, la capitalisation consiste à faire avancer dans le temps une valeur présente pour calculer sa valeur future appelée aussi Valeur Acquise. La valeur acquise C1 d’une somme d’argent présente C0 capitalisée au taux i pendant une année est égale à : C1 = C0 (1 + i) 17 Dès lors, la valeur future Cn d’une somme d’argent présente C0 disponible après n années et placée au taux i est égale à : n n i c c    ) 1 ( 0 0 t 0 C ?  n C n n i c c    ) 1 ( 0 18 3. L’intérêt simple 19 3.1 Principe et champ d’application L’intérêt simple se calcule toujours sur le principal. Il ne s’ajoute pas au capital pour porter lui même intérêt. L’intérêt simple est proportionnel au capital prêté ou emprunté. Il est d’autant plus élevé que le montant prêté ou emprunté est important et que l’argent est prêté ou emprunté pour longtemps. Il est versé en une seule fois au début de l’opération, c'est-à-dire lors de la remise du prêt, ou à la fin de l’opération c’est à dire lors du remboursement. L’intérêt simple concerne essentiellement les opérations à court terme (inférieures à un an). 20 3.2 Calcul pratique Soit, C : le montant du capital prêté ou emprunté (valeur nominale) i : le taux d’intérêt annuel (en pourcentage ) n : la durée de placement (en année ) I : le montant de l’intérêt à calculer Cn : la valeur acquise par le capital en Dhs (valeur future) 21 On a : I = C. i. n Et Cn= C+ I 100 . . n i C C Cn   ) 100 . 1 ( n i C Cn   22 Remarques Si la durée du placement est exprimé en mois, on aura : 12 . 100 . n i C I  1200 . . n i C I  ) 1200 . 1 ( n i C Cn   et 23 Si la durée du placement est exprimée en jours, on aura : 360 . 100 . n i C I  Et ) 36000 . 1 ( 36000 . . n i C C n i C I n    24 Pour une durée de placement exprimée en jours, l’usage fait que l’intérêt est calculé sur la base de l’année financière ou commerciale comptant 360 jours et non pas l’année civile comptant 365 jours ou 366 jours. L’exception est faite pour les comptes à terme et les bons de caisse dont l’intérêt servi est calculé sur la base de l’année civile, c’est à dire 365 jours. Par ailleurs, il faut aussi signaler que lorsque la durée est exprimée en jours, les mois sont comptés à leur nombre exact de jours, et on ne tient compte que de l’une des deux dates extrêmes. 25 Exemple: Une somme de 10000 dirhams est placée sur un compte du 23 Avril au 9 Août au taux simple de 7% 1/ Calculer le montant de l’intérêt produit à l’échéance. 2/ Calculer la valeur acquise par ce capital. 3/ Chercher la date de remboursement pour un intérêt produit égal à 315 dirhams. 26 Solutions : 1. On a : 36000 . . n i C I  , C= 10000, i= 7, calculons alors le nombre de jours de placement.               9 31 30 31 7 Août Juillet Juin Mai Avril 108 jours dirhams I 210 36000 108 . 7 . 10000   2. La valeur acquise par ce capital est égale à n C , n C = C+ I= 10000+210= 10210 dirhams 27 3 Date de remboursement correspondant à un intérêt de 315 dirhams 36000 . . n i C I  donc i C I n . . 36000  jours n 162 7 . 10000 315 . 36000    30 31 31 30 31 7       Septembre Août Juillet Juin Mai Avril 160 2  Octobre 162 28 4. Taux proportionnel et taux équivalent 29 Les taux d’intérêt sont généralement exprimés en taux annuels. Mais, on peut considérer une période plus courte que l’année, par exemple, le semestre, le trimestre le mois ou le jour. De même, les intérêts peuvent être capitalisés chaque semestre, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour. Ainsi, lorsque le taux d’intérêt est annuel et l’on considère une période inférieure à l’année, le taux d’intérêt prévalant pour cette période devra être calculé. uploads/Finance/ diapocours-de-mathematiques-financieres.pdf