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Exercice 1 Deux pays A et B ont la même fonction de production : Y = F(K,L) = K

Exercice 1 Deux pays A et B ont la même fonction de production : Y = F(K,L) = K1/2L1/2 1- Cette fonction a-t-elle des rendements d’échelle constants? 2- Déterminer la fonction de production par travailleur. 3- Supposons nuls la croissance démographique et le progrès technologique dans les deux pays. Le taux d’amortissement est de 5% dans les deux pays. Les pays A et B épargnent respectivement 10% et 20% de leur production annuelle. a. Déterminer le volume stationnaire du capital pour chaque pays. b. Déterminer les niveaux stationnaires de revenu et de consommation par travailleur. Solution 1- Les rendements d’échelle : Y = F(K,L) = K1/2L1/2 F(zK,zL) = (zK)1/2(zL)1/2 =z K1/2L1/2 = zF(K,L) = zY F(K,L) a donc des rendements d’échelle constants. 2- La fonction de production par travailleur: Y =K 1 2 L 1 2 ⇒ Y L = K 1 2 L 1 2 L = K 1 2 L 1 2 =( K L) 1 2 Si on pose y=Y L et k=K L on aura la fonction de production par travailleur y=k 1 2 3- D’après l’énoncé, on sait que: δ=0.05¿}s A =0.1¿}s A =0.2¿}¿¿⇒à l'état stationna ire on a¿ Δk=0 ⇒ i=δk sf (k)=δk sy=δk sk 1 2 =δk k=( s δ ) 2 Ainsi : Pour le pays A : k A ¿ =( s δ) 2 =( 0.1 0.05) 2 =4 Pour le pays B: kB ¿ =( s δ) 2 =( 0.2 0.05) 2 =16 - Niveau stationnaire du revenu par travailleur: y A ¿ =(k A ¿ ) 1 2=(4 ) 1 2=2 yB ¿ =(k B ¿ ) 1 2=(16) 1 2=4 - Niveau stationnaire de consommation par travailleur: On sait que pour chaque dirham du revenu, le consommateur consomme (1-s) et épargne une fraction s, donc: c A ¿ =(1−s)y A ¿ =(1−0.1).2=1.8 cB ¿ =(1−s) yB ¿ =(1−0.2).4=3.2 Exercice 2 Supposons les données suivantes pour une économie donnée: - la part du capital dans le PIB d’une économie donnée est 30%, - la croissance annuelle moyenne du PIB est de 3%, - le taux d’amortissement est de 4%, - le rapport capital/production est de 2.5 ; - une fonction de production du type Cobb-Douglas de sorte que la part du capital dans la production est constante, - Cette économie est en état stationnaire. 1- Quel doit être le taux d’épargne à l’état stationnaire initiale ? 2- Quelle est la productivité marginale du capital à l’état stationnaire initiale ? 3- Supposons une politique induisant un accroissement du taux d’épargne permettant à l’économie d’atteindre le volume de capital dicté par la règle d’or. Que devient la productivité marginale du capital? Comparer cette productivité à celle qui prévalait à l’état initiale. Expliquez. 4- Quel est le rapport capital-production correspondant à l’état stationnaire dicté par la règle d’or ? 5- Quel est le taux d’épargne permettant d’atteindre l’état stationnaire dicté par la règle d’or ? Solution La fonction de production Gobb-Douglas a la forme suivante : y=kα Où α est la part du capital dans le revenu. D’après l’énoncé, α=0.3 par conséquent la fonction de production devient: y=k0.3 A l’état stationnaire, le taux de croissance de la production est de 3%, ainsi on peut écrire (n + g) = 0.03. Le taux de dépréciation est δ=0.04. Le rapport capital-production est de K/Y = 2.5 par conséquent on en déduit que: K Y = K EL Y eL = k y =2.5 donc, le rapport capital-production est le même en termes de travailleurs efficients qu’en niveau. 1- Le taux d’épargne à l’état stationnaire initiale: à l’état stationnaire, ∆k=0→sy=(δ+n+g)k s=(δ+n+g ) k y =(0.04+0.03)2.5=0.175 Le taux d’épargne initial est de 17.5%. 2- La productivité marginale du capital à l’état stationnaire initiale: On a une fonction Cobb-Douglas : Y=K α( EL) 1−α Donc, PMK=(Y )K ' =αK α−1(EL) 1−α ¿αK −1K α(EL) 1−α ¿αK −1Y PMK=α Y K = α K Y =0.3 2.5=0.12 3- La productivité marginale du capital: On sait qu’à l’état stationnaire dictée par la règle d’or: PMK=δ+n+g=0.03+0.04=0.07 A l’état stationnaire dictée par la règle d’or, PMK=7 % alors qu’elle est égale à PMK=12% à l’état stationnaire initiale. Ainsi, à l’état stationnaire initial, nous avons besoin d’augmenter k pour atteindre l’état stationnaire dicté par la règle d’or. 4- Le rapport capital-production correspondant à l’état stationnaire dicté par la règle d’or: On sait d’après la question 2 que PMK= α Y K → α PMK = Y K →Y K = 0.3 0.07=4.29 5- Le taux d’épargne permettant d’atteindre l’état stationnaire dicté par la règle d’or: A partir de la question 1 on écrit s=(δ+n+g ) k y et aussi à partir de l’introduction de cet exercice nous savons que K Y = k y . Par conséquent, à l’état stationnaire dicté par la règle d’or K Y = k y =4.29, d’où s=(0.04+0.03 ).4.29=30 Afin de parvenir à l’état stationnaire dicté par la règle d’or, il faut accroitre l’épargne de 17.5% à 30%. uploads/Finance/ exercices-1-2-croissance.pdf