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INTRODUCTION Pour limiter ses décalages de trésorerie ou disposer de liquidités

INTRODUCTION Pour limiter ses décalages de trésorerie ou disposer de liquidités par la mobilisation de ses créances client avant l’échéance convenue, l’entité cède son effet de commerce à la banque moyennant le versement d’une avance à celle-ci. Cette opération est qualifiée d’escompte. Ainsi, lorsqu’elle s’applique aux effets dont l’échéance est supérieure à un an, on parle d’escompte à intérêts composés. Celui-ci constitue la différence entre la valeur nominale de l’effet et la valeur actuelle à intérêts composés. Par ailleurs, il arrive souvent que l’entité décide de remplacer un ou plusieurs effets d’échéances différentes au taux i par un autre effet unique d’échéance n quand la valeur actuelle de l’effet unique est égale aux valeurs des autres effets à la date de remplacement. On parle alors d’équivalence d’effets. Notre travail consistera d’abord à exploiter la notion d’escompte et d’équivalence à intérêt composé, ensuite monter l’incidence de cette opération sur la trésorerie de l’entité et pour finir traiter des cas pratiques à titre illustratif de notre travail. I. Approches notionnelles 1. Escompte A la suite d’une vente à crédit un document commercial est généralement créé. Il fait foi de l’existence d’une créance du fournisseur vis-à-vis de son client. Ce document pouvant être aussi bien une lettre de change qu’un billet à ordre est un effet de commerce. Cet effet peut être négocié c’est-à- dire le vendre, et escompté c’est-à-dire l’acheter. Le banquier escompteur rend service à son client ; ce service est payé au moyen d’un intérêt appelé escompte. 2. Equivalence On utilise l’équivalence lorsqu’on veut remplacer un effet par un autre d’échéance différente, ou plusieurs effets de valeurs nominales et d’échéances différentes par un seul effet. La valeur actuelle du premier effet doit être identique à celle de l’effet de remplacement à la date d’équivalence. 3. Intérêt Lorsqu’une personne physique ou morale met à la disposition d’une autre personne une certaine somme d’argent pendant un certain temps, il est convenu que cette somme lui soit remboursée majorée d’un montant appelé intérêt. L’intérêt est la rémunération d’un prêt ou d’un placement d’argent appelé le capital. 4. Intérêts composés Un placement ou un prêt est effectué à intérêts composés si, à la fin de chaque période, la valeur acquise à intérêts simples sert de base de calcul de l’intérêt de la période suivante et ce processus continu jusqu’à la fin de la durée de l’opération. II- L’escompte à intérêts composés L’escompte à intérêts composés s’applique aux effets dont l’échéance est supérieure à un an. Dans le cas des intérêts simples, l’escompte est obtenu par la différence entre la valeur nominale et la valeur actuelle. Ce principe demeure valable dans le cas des intérêts composés, seul change le mode de calcul de la valeur actuelle. 1- Définition L’escompte est la différence entre la valeur nominale de l’effet et la valeur actuelle à intérêts composés. 1.1. Expression générale Désignons par : V : la valeur nominale de l’effet i: le taux de l’escompte annuel pour 1 franc n : la durée de l’escompte exprimée en années E : le montant de l’escompte à intérêts composés a : la valeur actuelle de l’effet. L’escompte est par définition égal à : E=[V −a ] La valeur de a doit être déterminée de la même façon que la valeur actuelle d’un capital placé à intérêts composés. Dans le cas présent V est assimilé à ce capital. En conséquence, a est donnée par l’expression : a=V (1+i) −n L’escompte s’exprimera également ainsi : E=[V−V (1+i)−n] E=V [1−(1+i)−n] Application 1 : Déterminer, au taux de 6%, l’escompte et la valeur actuelle d’un billet de fonds payable dans 4 ans et de valeur nominale 5000 F - Valeur actuelle a=V (1+i) −n a=5 000 (1 , 06) −4 a=3 960 , 47 F - Escompte E=V −a E=5 000−3 960 , 47 E=1 039 , 53 F 1.2. Escompte rationnel ou commercial Dans le chapitre précédent, consacré à l’escompte à intérêts simples, une distinction était établie entre escompte rationnel et escompte commercial. Le présent paragraphe implique donc que soit précisé le caractère de l’escompte à intérêts composés ; La différence numérique entre les valeurs des escomptes commercial et rationnel est faible, dans le cas de l’intérêt simple. L’escompte à intérêts composés est fondé sur des valeurs de n très nettement supérieures, de sorte que cette différence est notablement accrue. L’application d’un escompter commercial à intérêts composés pénaliserait de façon excessive le vendeur de l’effet. En conséquence, il apparaît plus raisonnable que l’escompte à intérêts composés soit fondé sur le principe rationnel. Considérons, en application de ce dernier principe, que l’escompte est déterminé à partir de la valeur actuelle. La transformation de l’égalité : E=V −a , permet d’obtenir : a+E=V L’escompte étant proportionnel à la valeur actuelle, son expression pour une période sera : E=a i La transposition dans l’égalité précédente permet d’écrire : a+a i=V ⇔ a (1+ i)=V La généralisation à n périodes produit une expression de la forme : a (1+ i) n=V d’où : a=V (1+i) −n Cette égalité est identique à la définition algébrique de la valeur actuelle donnée au paragraphe 1.1. Cela signifie que l’escompte à intérêts composés est un escompte rationnel. III- Equivalence de capitaux à intérêts composés 1- Equivalence de deux capitaux a) Définition Deux capitaux évalués au même taux sont équivalents si, à une date donnée, leurs valeurs actuelles à intérêts composés sont égales. Contrairement aux intérêts simples, l’équivalence à intérêts composés se vérifie quelle que soit la date à laquelle elle est établie. En effet, si deux valeurs actuelles s’égalisent à une date donnée, cette égalité sera de nouveau effective à une date quelconque, pour des valeurs actuelles différentes des précédentes. b) Expression générale Désignons par : V1 et V2 : les valeurs nominales respectives des capitaux 1 et 2 a1, pet a2, p : les valeurs actuelles respectives, établies à la date p n1 et n2 : le nombre de périodes aux termes desquelles les capitaux 1 et 2 sont payables p : un nombre de périodes quelconques, exprimé par référence à l’époque zéro i : le taux d’évaluation. A la date d’équivalence p, les deux valeurs actuelles s’égalisent : a1 , p=a2 , p où : a1 , p=V 1(1+i) p−n1 a2 , p=V 2 (1+i) p−n2 Cette équivalence s’exprime également ainsi : V 1 (1+i) p−n1=V 2 (1+i) p−n2 Si p=0 , l’expression obtenue permet d’égaliser les valeurs actuelles à l’époque zéro : a1 , 0=a2 , 0 D’où : V 1 (1+i) −n1=V 2(1+i) −n2 Les problèmes d’équivalence portent généralement sur la recherche des valeurs V 1 ou V 2 , n1 ou n2 . Considérons deux applications caractéristiques de ces problèmes. Application 1 : 1) Détermination de la valeur de V Un débiteur désire rembourser par anticipation dans 3 ans, une dette de 50 000 F payable dans 6 ans. Déterminer, à un taux de 10%, la somme qu’il devra débourser. V 1=50 000 temps 0 3 6 temps -3 0 3 6 temps 0 3 6 V 2=? i=0 , 10 n1=6 ans n2=3 ans - Représentation graphique du problème V 2=? + + + V 1=50 000 La résolution de ce problème implique que soit établie l’équivalence des deux capitaux à une date quelconque. Considérons ces dates au travers des valeurs données à p , distance de l’époque zéro à une date fixée : p=−3 p=0 p=4 - Equivalence à la date p=−3 A la date p=−3 , l’équivalence implique que les valeurs actuelles des deux dettes s’égalisent : La conséquence numérique de cette égalité s’écrit : + a2 , −3=V 2(1+i) −6 V 2=? + + + + a1 , −3=V 1(1+i) −9 V 1=50 000 + 50 000 (1 , 10) −9=V 2 (1 , 10) −6 ⇔ 50 000 [(1 , 10) −9/(1 , 10 ) −6]=V 2 ⇔ 50 000 (1 , 10)−3=V 2 V 2= 37 565 , 74 F - Equivalence à la date p=0 A l’époque zéro, les valeurs actuelles des deux dettes sont également équivalentes : + a2 , 0=V 2(1+i) −3 V 2=? + + + temps 0 3 4 6 a1 , 0=V 1(1+i) −6 V 1=50 000 + Cette égalité à l’époque zéro s’écrit : 50 000 (1 , 10) −6=V 2 (1 , 10) −3 Une transformation similaire à celle appliquée dans le cas précédent (p=−3 ) fournit la valeur de la nouvelle dette : V 2 =50 000 (1 , 10) −3 V 2= 37 565 , 74 F - Equivalence à la date p=4 Dans ce cas, l’égalité est établie à la date p=4 : + V 2=? V 2(1+i) + + + + V 1(1+i) −2 V 1=50 000 + L’équivalence implique donc l’égalité entre la valeur acquise de V 2 et la valeur actuelle de V 1 : 50 000 (1 , 10) −2=V 2 (1 , 10) D’où : V 2=50 000 (1 , 10 ) −3 V 2= 37 565 , 74 F Cette application démontre que le choix de la date à laquelle est établie uploads/Finance/ expose-mathematiques-financieres-1 1 .pdf