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CAHIERS MÉTHODOLOGIQUES POUR LES CLASSES PRÉPARATOIRES AUX GRANDES ÉCOLES DE CO

CAHIERS MÉTHODOLOGIQUES POUR LES CLASSES PRÉPARATOIRES AUX GRANDES ÉCOLES DE COMMERCE Formulaire de Maths par Xavier Chauvet C O L L E C T I O N L E S M É M E N T O S D E L ’ I N S E E C MÉM ENTO N° 1 0 Les Mémentos de l’INSEEC Depuis désormais plus de dix ans, l’INSEEC propose aux élèves des classes pré- paratoires des conférences à travers la France sur les sujets d’Histoire et de Culture Générale qu’appellent les programmes des concours d’entrée aux Ecoles de Commerce. Confortés par les nombreux témoignages enthousiastes que ces manifestations ont suscités chaque année, nous avons pris la décision d’aller plus loin dans cette aide offerte aux étudiants pour compléter leur préparation. Nous avons donc conﬁ é à Éric Cobast le soin d’animer une collection de petits ouvrages méthodologiques destinés aux étudiants de première et de seconde année. Les « Mémentos de l’INSEEC » ont été conçus et rédigés par des professeurs des classes préparatoires particulièrement sensibilisés aux difﬁ cultés que ren- contrent régulièrement leurs étudiants. C’est au service de tous qu’ils appor- tent à présent leur expérience. L’ambition des « Mémentos » n’est évidemment pas de se substituer d’une manière ou d’une autre aux cours annuels, mais de proposer des outils, principalement sur le plan de la méthode et du lexique, susceptibles d’accompagner la préparation des concours. Le souci a été d’efﬁ cacité et d’utilité quant au choix du format. Il nous a été dicté par l’intention de publier des textes maniables, d’un accès aisé et vers lesquels il est commode de revenir souvent. Nous avions choisi, l’an passé, de débuter par une méthodologie de la disserta- tion d’Histoire, de la dissertation de philosophie, de l’épreuve écrite d’anglais et enﬁ n de l’épreuve de contraction. A ces quatre premiers titres, il fallait ajouter une présentation détaillée des entretiens qui suivent l’admissibilité et un lexique propre au thème retenu pour la C.S.H. Cette année, le dispositif est complété par deux mémentos de mathémati- ques (un formulaire et un recueil « d’astuces »), un mémento d’espagnol, un mémento d’économie et enﬁ n le lexique du thème de C.S.H. de l’année, l’Ac- tion. En vous souhaitant bonne réception et bon usage de ces mémentos, et avec l’assurance que cette année d’efforts trouvera sa juste récompense… Catherine Lespine Directrice Générale du Groupe INSEEC 1 Formulaire de Maths Xavier Chauvet Ancien élève de l’Ecole Normale Supérieure - ENS Ulm Professeur agrégé de Mathématiques en classes préparatoires au Lycée Lakanal à Sceaux 2 Sommaire 1. Algèbre ......................................................................................................................................................................................4 2. Analyse .................................................................................................................................................................................14 3. Probabilités ...................................................................................................................................................................24 3 Ce formulaire ne remplace en aucun cas un cours. Il peut seulement servir à combler rapidement une lacune portant sur une formule rencontrée au détour d’un exercice. Il ne faut pas croire que l’on a appris son cours lorsque l’on connaît les formu- les qu’il contient. Pour vériﬁ er que l’on connaît son cours, il faut d’une part voir si à partir du seul plan du cours on est capable de le réécrire intégra- lement, puis vériﬁ er que l’on sait faire les exercices d’applications directes contenus dans les feuilles de TD ou dans les livres, sans oublier que le but est de résoudre des problèmes de maths de 4 heures. Apprendre une formule par coeur ne remplace jamais le fait de l’avoir comprise. Une formule apprise par coeur et non comprise sera impossible à retrouver le jour du concours. Il faut essayer d’une part de se convaincre que l’on a bien com- pris cette formule en se souvenant des remarques du professeur, de l’endroit du cours où elle se situe, en essayant d’associer une image ou un dessin à cette formule, mais il faut également pouvoir associer à cette formule quelques exer- cices dans lesquels on l’a retrouvée aﬁ n de mieux percevoir son utilité. Rappelons au passage quelques liens de maths utiles en ECS : Annales des écrits de la CCIP : http://abdellah.bechata.free.fr/phec/scientiﬁ que.php Annales des oraux d’ESCP : http://www.escp.fr/fr/programmes/master/annales.html Programme ofﬁ ciel : http://www.prepa-hec.org/prepa/programmes/mathematiques.php 4 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale 1.1.1 Utilisation de Produit de sommes Sommes classiques Formule du binôme de Newton Lien coefﬁ cients/racines d’un polynôme 5 Union, intersection, complémentaire Formules avec 1.1.2 Trigonométrie Formules au programme 6 Formules hors programme : 1.1.3 Complexes Formules d’Euler : Racines nèmes : Trinôme du second degré : 1.1.4 Polynômes Produit de polynômes 7 Degré et coefﬁ cient dominant Division euclidienne : Formule de Taylor : Racine d’ordre k : 1.2 Algèbre linéaire 1.2.1 Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels Union et intersection Applications linéaires : 8 Famille de vecteurs Théorème du rang 1.2.2 Supplémentaires et projecteurs Deux espaces supplémentaires Plusieurs espaces supplémentaires 9 Projecteurs - déﬁ nition Projecteurs - propriétés 1.2.3 Calcul matriciel Déﬁ nition Image et noyau Produit matriciel Transposée 10 Matrices symétriques et antisymétriques Matrices triangulaires supérieures Matrices inversibles 1.2.4 Réduction des endomorphismes et matrices carrées Eléments propres d’un endomorphisme 11 Eléments propres d’une matrice Critères de diagonalisabilité pour les endomorphismes Matrices de passage Critères de diagonalisabilité pour les matrices 12 1.3 Algèbre bilinéaire 1.3.1 Produit scalaire Déﬁ nition Orthogonalisation de Schmidt Inégalité de Cauchy-Schwarz Formules avec < , > Projecteur orthogonal Méthode des moindres carrés 13 Droite de régression linéaire 1.3.2 Endomorphismes symétriques Théorème spectral Décomposition en somme de projecteurs orthogonaux Endomorphisme symétrique Forme quadratique 14 2 Analyse 2.1 Suites réelles Suites arithmético-géométriques Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 Négligeabilité, domination, équivalence de suites 15 2.2 Séries numériques Déﬁ nition Transformations utiles Critère de comparaison des séries à termes positifs Critère de comparaison des séries à termes positifs équivalents Séries Riemann 16 Séries géométriques Séries exponentielles Formule du binôme négatif 2.3 Etude globale d’une fonction Symétries d’une fonction Branches inﬁ nies 17 2.4 Fonctions numériques réelles : calcul différentiel Dérivées classiques Dérivée d’une bijection réciproque 18 Formule de Leibniz Théorème de Rolle Inégalité des accroissements ﬁ nis Théorème de prolongement des fonctions de classe C1 Convexité Inégalités classiques de convexité 19 2.5 Fonctions numériques réelles : calcul intégral Primitives usuelles Intégration par parties Changement de variable Méthode des rectangles, (ou sommes de Riemann) 20 Equation différentielle Formule de Taylor avec reste intégral Inégalité de Taylor-Lagrange Formule de Taylor-Young Développements limités usuels 21 Intégrales sur un intervalle quelconque Intégrales classiques Fonction Γ d’Euler 2.6 Fonctions numériques de plusieurs variables Topologie 22 Dérivées partielles et gradient Dérivées directionnelles Développements limités Hessienne et forme quadratique associée 23 Extremum local sur un ouvert : condition nécessaire pour une fonction de classe Extremum local sur un ouvert : condition sufﬁ sante pour une fonction de classe Extremum local sur un ouvert : cas ( méthodes et notations de Monge ) Extremums sous contrainte d’égalités linéaires 24 3 Probabilités 3.1 Dénombrement Parties d’un ensemble Suite d’éléments Cardinal d’une union de 2 ou 3 parties Cardinal d’une union de n parties : formule du crible (ou formule de Poincaré) 3.2 Probabilité : déﬁ nitions et propriétés Déﬁ nition 25 Formules Propriété de limite monotone Evénements indépendants Formule du crible (ou formule de Poincaré) Système complet d’événements 26 3.3 Probabilités conditionnelles Déﬁ nition Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales Formule de Bayes 3.4 Variables aléatoires réelles discrètes Déﬁ nition Somme de variables aléatoires 27 Fonction de répartition Indépendance de V.A.R. Espérance : Déﬁ nition Theorèmes de transfert 28 3.5 Variables aléatoires réelles à densité Déﬁ nition d’une densité Somme de variables aléatoires Indépendance de V.A.R. Espérance : Déﬁ nition Theorème de transfert 3.6 Moments d’une variable aléatoire réelle Espérance : premières propriétés 29 Variance, écart-type Covariance Coefﬁ cient de corrélation linéaire Moments et moments centrés Variable aléatoire centrée réduite 30 Espérance conditionnelle Formule de l’espérance totale 3.7 Lois discrètes usuelles Loi uniforme Modélise le résultat d’une expérience dont les résultats apparaissent avec la même probabilité 31 Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi hypergéométrique Loi géométrique Loi de Poisson 32 3.8 Lois usuelles à densité Loi uniforme Loi exponentielle 33 Loi γ et loi Γ Loi normale 3.9 Convergences et approximations Inégalité de Markov Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 34 Convergence en probabilité Loi faible des grands nombres Approximations classiques Théorème de la limite centrée 3.10 Estimation Biais d’un estimateur Estimateur sans biais Risque quadratique d’un estimateur 35 Asymptotiquement sans biais Suite convergente d’estimateurs Intervalle de conﬁ ance Choix des épreuves écrites Option Scientifique Coef Option Économique Coef Option Technologique Coef Option Littéraire Coef - Contraction de texte Épreuve HEC 2 Épreuve HEC 2 Épreuve HEC 2 Épreuve HEC 2 - Première langue IENA 7 IENA 7 IENA 4 IENA 6 - Deuxième langue IENA 5 IENA 5 IENA 3 IENA 4 - Dissertation de culture générale Épreuve ESC 5 Épreuve ESC 5 Épreuve ESC 4 - - Dissertation littéraire - - - Épreuve ESSEC 5 - Dissertation philosophique - - - Épreuve ESSEC 5 - Mathématiques Épreuve EDHEC 5 Épreuve EDHEC 4 Épreuve ESC 4 - - Histoire, géographie économiques - Analyse économique et historique - Économie - Histoire Épreuve ESC 6 - - - - Épreuve ESC 7 - - - - Épreuve ESC 5 - - - uploads/Finance/ formulaire-ecs 1 .pdf