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ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d’exercices en Hydrologie Cours

ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d’exercices en Hydrologie Cours : Gestion des Eaux / Thématique : Optimisation ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Logo optimisé par J.-D.Bonjour, SI-DGR 13.4.93 Exercice n° GE 0301 - Corrigé Rentabilité économique d’un système d’irrigation utilisant l'eau d'une nappe phréatique Données de l’exercice : Une feuille de calcul Excel à compléter est disponible dans le fichier « GE0301_feuilledecalcul.xls ». Le corrigé est aussi disponible dans le fichier « GE0301_corrige.xls ». Question 1. Mise en équations du problème Détermination des annuités à payer pour le remboursement de l’emprunt : (1 ) (1 ) 1 n n r r Co P r ⋅ + = ⋅ + − Annuité + Coût annuel d’exploitation du pompage : z t q Co z V Co q C β β + = + = ) ( avec V = q.t avec C(q) : coût total de l’exploitation (Frs/an) V : volume annuel pompé (m3) z : profondeur à laquelle se trouve la pompe (m) q : débit de pompage (m3/s) t : durée annuelle de pompage (s) Relation en régime permanent entre débit pompé et profondeur à laquelle se trouve la pompe : Aucune ! En fait, on a une relation q(hr) en régime permanent entre le débit pompé q et la hauteur de rabattement hr de la nappe dans le puit. Conclusion : pour rendre possible le pompage d’un débit qo donné, il suffit de positionner la pompe à une profondeur + importante que celle définie par la hauteur de rabattement hro critique obtenue par la relation q(hr). La relation entre la profondeur z de la pompe et le débit pompé n’est donc pas univoque et l’on a un système qui est à première vue indéterminé sauf que : étant donné que le coût du pompage est proportionnel à la profondeur à laquelle se situe la pompe, il est nécessaire pour minimiser les coûts d’exploitation du pompage de positionner la pompe le moins profondément possible avec la contrainte que (z-zo)>hro si l’on veut assurer le débit qo. Problème d’optimisation 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≥ = + = = o h zo z qo q z q Co z C q C z r et avec minimum soit ) ( ) ( que tel β Mise à jour le 21.12.2005 GE 0105 - Page 1 Pour assurer un débit de pompage qo donné, la profondeur optimale du pompage correspond donc à z=zo+hro et la relation q(hr) devient donc la relation q(z-zo) Relation q(hr) Courbe caractéristique d'un puit en régime permanent : Courbe caractéristique du puits -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 débit de pompage (m3/s) profondeur de rabattement Au-delà du point critique, les apports de la nappe n’arrivent plus à compenser les prélèvements par pompage. Pour la partie linéaire de la courbe : utilisation de la formule de Vibert valable pour un puits à fond et parois latérales perméables. ) ( 1 ) / ln( . zo z r R H h K q − = = α π avec ) ( ) / ln( zo zs K r R − = π α avec K : perméabilité de la nappe (m/s) h : hauteur du rabattement (m) h =z-zo H : hauteur de la nappe (m) H=zs-zo R : rayon d’action du puits (m) r : rayon du puits (m) z, zo, zs : profondeur de la pompe, du toit de la nappe, du substratum imperméable base de la nappe (m) Reformulation des coûts annuels : ) ( ) ( q zo t q Co q C α β + + = Relation entre le gain de la production et le débit d’irrigation Le débit d’irrigation à fournir pour une production optimale de la culture (qopt) est déterminé de façon à compenser les pertes journalières par évapotranspiration évaluées grossièrement à 5mm/jour h opt n E s q * 3600 * 1000 TR * 10 * 4 = avec qopt : débit d’irrigation optimal (par hectare irrigué) pour une production maxi (m3/s) s : surface du champ à irriguer (ha ; s = 1ha dans l’exercice) ETR : évapotranspiration (mm/jour) nh : nombre d’heure d’irrigation par jour Mise à jour le 21.12.2005 GE 0105 - Page 2 Détermination du gain produit par le champ (avec G(q) en Frs/an/ha) Fonction de gain de l’exploitation par hectare irrigué c bq aq q G + + − = ² ) ( Revenu = f(q) 0 500 1000 1500 2000 2500 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 q (m3/s) Frs Les coefficients de la fonction sont déterminés ici par : le gain optimal Gopt obtenu pour le débit d’irrigation optimal qopt le gain obtenu sans irrigation Go On en déduit : ² opt q Go Gopt a − = opt q Go Gopt b ) ( * 2 − = c=Go Remarque 1 : on peut aussi exprimer de façon plus synthétique cette fonction de gain sous la forme suivante : ( ) ( )² opt G q Gopt a q q = − ⋅ − Remarque 2 : dans l’exercice 101 ; Go = 0.4 Gopt, d’où simplification possible des expressions ci dessus Question 2. Optimisation Expression de la fonction objectif à maximiser pour maximiser le profit Fonction objectif = bénéfices annuels B(q) : [ ] [ ] ) ( )² ( ) ( ) ( ) ( q zo t q Co qopt q a Gopt q C q G q B α β + + − − − = − = [ ] [ ] [ ] ( ) ² 2 ² B q Gopt Co a qopt a qopt t zo q t a q β β α = − −⋅ + ⋅ − ⋅⋅ ⋅− ⋅⋅ + ⋅ [ ] [ ] [ ] ( ) 2 ² B q Go Co a qopt t zo q t a q β β α = − + ⋅ − ⋅⋅ ⋅ − ⋅⋅ + ⋅ ² * * ) ( q q q B η ε ξ − + = Problème d’optimisation : S = [ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > > Go q B q q B Max q ) ( et 0 avec ) ( Mise à jour le 21.12.2005 GE 0105 - Page 3 Détermination de l’optimum de la fonction B(q) : Dans le cas ou le coefficient η est non nul : un optimum B(qm) unique pour qm unique q q q B q B η ε 2 ) ( ) ( ' − = ∂ ∂ = B(q) optimum obtenu pour B’(qm)=0 ce qui implique 2 2 2 ( m a qopt t zo q a t ) ε β η β α ⋅ − ⋅⋅ = = ⋅ + ⋅⋅ Qui correspond au bénéfice maximum : η ε ξ ² 4 1 ) ( + = m q B Vérification des contraintes : Les deux contraintes du problème d’optimisation S sont à vérifier, à savoir : Le débit de pompage optimum doit être positif et pour que l’installation soit envisageable, le bénéfice correspondant au débit optimum déterminé par l’optimisation précédente doit au moins être supérieur au bénéfice annuel obtenu sans irrigation et sans installation de pompage (i.e. sans annuité Co à rembourser) Contrainte qm>0 Pour que qm>0, il faut ε>0 Dans le cas contraire, la dérivée du bénéfice B’(q) est strictement négative pour tout q>0 donc le bénéfice maximum sur I=[0,+∞[ est obtenu pour qm=0 ; Or, B(qm=0)= ξ = Go - Co < Go : donc le puit est non intéressant. Contrainte B(qm)>Go : Dans le cas où ε>0, οn peut trouver un débit optimum positif qui conduise à un bénéfice inférieur au bénéfice que l’agriculteur pourrait faire sans irrigation et sans avoir installé de puit sur son terrain (ce qui l’obligerait sinon à rembourser de toutes façon les annuités même si le puit n’était pas rentable). On a 2 2 2 ( ) m a qopt t zo q a t ε β η β ⋅ − ⋅⋅ = = ⋅ + ⋅⋅α et 1 ² 1 (2 )² ( ) 4 4 ( m a qopt t zo B q Go Co a t ) ε β ξ η β α ⋅ − ⋅⋅ = + = − + + ⋅⋅ pour que B(qm)>Go il faut 1 (2 )² 4 ( ) a qopt t zo Co a t β β α ⋅ − ⋅⋅ > + ⋅⋅ Remarques : Rq 1 : Toute l’étude est réalisée pour un puit devant servir à l’irrigation d’une surface cultivée de 1ha. Le débit optimum trouvé pour un champ à irriguer de surface plus grande serait bien entendu différent du fait de la non linéarité du problème : Débit à pomper : q’ = s.q avec s= nombre d’hectares Coût annuel, gain, bénéfice de l’exploitation : ) ( ) ( 2 q s zo t q s Co q C uploads/Finance/ ge0301-corrige-pdf 1 .pdf