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I I A 8ème promotion MST A (2006-2008) 1ère Année Généralités et bases techniqu

I I A 8ème promotion MST A (2006-2008) 1ère Année Généralités et bases techniques de l’assurance Support de cours 9 – 20 avril 2007 Professeur : M. MEILLAND e-mail : olivier.meilland@acam-france.fr Bibliographie : entre autres ouvrages, on consultera TOSETTI et al. : Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat PREMIER CHAPITRE 1. Rappels de mathématiques financières et probabilités 1.1. Taux d’intérêt, capitalisation et actualisation 1.1.1. Taux d’intérêt Pour diverses raisons (risque de non-remboursement, perte de l’usage de l’argent, etc.) le prêt d’argent a un coût pour l’emprunteur, qui doit s’acquitter d’intérêts en plus du remboursement du capital (ou principal) emprunté. Il s’ensuit que pour un investisseur, comme l’assureur, qui a des fonds à placer sur les marchés financiers, l’argent n’a pas la même valeur au cours du temps : un franc versé dans un an ne vaut pas un franc versé aujourd’hui. On modélise ces variations par le taux d’intérêt. Le taux d’intérêt, noté i, et généralement exprimé en pourcentage par unité de temps, exprime le montant d’intérêts que doit verser le débiteur à chaque échéance temporelle relativement au montant emprunté. Ex : A emprunte un montant P (principal) ; il doit rembourser à l’échéance d’un an P+I : le principal et les intérêts. Le taux d’intérêt i est défini comme : i = I / P. En général, si le prêt est pluri-annuel, les intérêts sont dus à chaque échéance annuelle. Cependant, il existe des prêts qui prévoient le remboursement de l’intégralité des intérêts et du principal au terme du contrat : ce sont les emprunts « in fine ». 1.1.2. Capitalisation des intérêts Lorsque les intérêts ne sont pas encaissés par le prêteur, mais réinvesti dans le contrat de prêt, ces intérêts sont capitalisés et portent eux-mêmes intérêts dans la suite. Ainsi, pour un emprunt in fine de principal P0 et de taux i, le débiteur devra : Terme 1 an : P1 = P0 * (1 + i) Terme 2 ans : P2 = P1 * (1 + i) = P0 * (1 + i)2 … Terme n ans : Pn = P0 * (1 + i)^n Conclusion : la capitalisation permet de connaître la valeur future d’une somme dont on connaît la valeur aujourd’hui. 1.1.3. Actualisation d’un flux futur L’actualisation est l’opération inverse de la capitalisation : il s’agit de connaître la valeur actuelle d’un flux financier futur. On inverse donc l’opération précédente : un flux financier FT connu à la date T vaut à la date 0 : F0 = FT / (1 + i)^T = FT * (1 + i)^-T 1.1.4. Calcul de taux d’intérêt Si l’on connaît la valeur actuelle C0 d’un instrument financier et sa valeur future CT à la date T, on est capable de calculer le taux de rendement financier i qui permet d’obtenir cette valeur : En effet, CT = C0 * (1 + i)^T => (1 + i)^T = CT / C0 => i = (CT / C0)^(1 / T) - 1 2 1.2. Eléments de probabilité et de statistiques 1.2.1. Probabilités et variables aléatoires Une variable aléatoire est une quantité mesurable qui dépend du résultat d’une épreuve aléatoire. La loi de la variable aléatoire X, qui prend ses valeurs dans l’ensemble {x1, x2, …, xn}, encore appelée distribution, est la donnée des probabilités pi des événements « X = xi » soit : pi = P(X = xi) La fonction de répartition de la v.a. X prenant les valeurs xi est : F(xi) = P(X < xi). L’espérance mathématique de la v.a. X est une caractéristique de la loi permettant de situer sa valeur centrale ou moyenne :     n i i i p x X E 1 * La variance est une caractéristique de la v.a. permettant d’estimer la dispersion des valeurs possibles de X autour de l’espérance mathématique. Elle est définie par :               2 2 2 X E X E X E X E X V     L’écart-type est la racine carrée de la variance :     X V X   1.2.2. Loi binomiale On se donne une épreuve aléatoire (appelée épreuve de Bernouilli) n’ayant que deux issues possibles : succès ( = 1, avec probabilité p) ou échec (= 0, avec probabilité q = 1-p). On réalise n épreuves élémentaires de manière identique et indépendante. Soit K la variable aléatoire : « nombre de succès obtenus ». K est la somme de n v.a. de même loi et indépendantes. La loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p) est la loi de K. K prend ses valeurs dans l’ensemble : {0, 1, 2, … n} ; la probabilité de la valeur i est donnée par i n i i n p p C      ) 1 ( * * i) P(K pi , où le coefficient binomial i n C est donné par :             1 * ... * 2 * 1 * 1 * ... * 2 * 1 * ! !* !          i i i i n n n n i n i n C i n Les caractéristiques de la loi binomiale sont : E[K] = n*p ; V[K] = n*p*q et   q p n K * *   1.2.3. Somme et multiple de variables aléatoires ; loi des grands nombres a) Propriétés de l’espérance, la variance et l’écart-type Si X et Y sont deux variables aléatoires, et a un nombre non aléatoire : E[X +Y] = E[X] + E[Y] et E[a*X] = a*E[X] (propriété de linéarité de l’espérance mathématique) V[a*X] = a2 * V[X] et     X a X a   * *  Si X et Y sont indépendantes : E[XY] = E[X] * E[Y] et V[X+Y] = V[X] + V[Y] Par ailleurs, E[X + a] = E[X] + a et V[X + a]=V[X], car on peut dire que E[a] = a et V[a] = 0. 3 b) somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (v.a.i.i.d.) Soient X&, X2, X3, … X n des v.a. indépendantes et de même loi. On note la somme de ces v.a.    n i i n X S 1 . Alors, d’après ce qui précède, on a les identités suivantes :       X E n X E S E n i i n * 1    (les Xi étant de même loi, ils ont tous la même espérance, notée E[X].)       X V n X V S V n i i n * 1    et, par conséquent,     X n Sn   *  . c) moyenne de v.a.i.i.d. Définition : X. Il s’agit d’une moyenne des réalisations de X, notées X1, X2, … D’après ce qui précède :       X E S E n X E n  1 ;       X V n S V n X V n 1 1 2   et     X n X   1  . On en déduit la loi des grands nombres : la moyenne tend vers l’espérance mathématique lorsque n devient grand. 1.2.4. Théorème de la limite centrale Sous les hypothèses précédentes, le théorème de la limite centrale affirme que       1 , 0 N X X E X n n        . C’est-à-dire que, indépendamment de la loi des Xi, moyenne et la somme de v.a.i.i.d. tendent vers une v.a. de loi normale. En effet, pour des valeurs de n assez grandes, on peut considérer valide l’approximation :       1 , 0 N X X E X n    , soit encore :           1 , 0 * N X n X nE S X X E X n n n       soit encore :       X n X nE N Sn  ;  . 1.2.5. Loi normale Une variable aléatoire de loi normale (ou encore gaussienne) est une variable à densité, prenant ses valeurs sur l’ensemble des nombres réels. Cette loi est entièrement définie par la fonction de répartition : F(x) = P(X < x). Elle est notée N(m, σ2) où les paramètres m et σ correspondent à son espérance mathématique et à son écart-type. Propriété 1 : (invariance du caractère gaussien) Si X est une v.a. de loi normale N(m, σ 2), et a et b des nombres réels, alors : aX + b est une v.a. de loi normale N(a*m + b , a2 *σ2). En particulier,  uploads/Finance/ generalites-et-bases-techniques-dess-a-m-mariadassou-robert 1 .pdf