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1 INTÉRÊTS SIMPLES - INTÉRÊTS COMPOSÉS I L’intérêt Définition (« Petit Robert »

1 INTÉRÊTS SIMPLES - INTÉRÊTS COMPOSÉS I L’intérêt Définition (« Petit Robert ») : Somme due par l’emprunteur au prêteur ou reçue de l’emprunteur par le prêteur en plus du capital prêté. Exemple I 1 : Monsieur CLIO emprunte 12 000 € à sa banque pour l’achat d’une automobile. Il rembourse ce prêt en faisant 36 versements mensuels de 365 €. Donc le montant d’intérêt versé est : 36 × 365 − 12 000 = 1 140 €. Taux d’intérêt : Le taux d'intérêt mesure la rémunération du banquier qui prête une unité monétaire ou de vous même pour une unité monétaire vous placez, pendant une période. Il s’exprime en général sous forme de pourcentage des sommes prêtées ou placées pour un an. Exemple I 2 : un taux annuel de 6% signifie que pour 1 € emprunté, il sera remboursé 1,06 € au bout d’un an. 2 Deux grandes catégories de taux : · taux fixe : taux d'intérêt fixé lors de la signature du contrat. Il ne variera pas, quoi qu'il arrive. · taux variable : taux non définitivement fixé, qui évolue à la hausse comme à la baisse en fonction de l'évolution d'un indice de référence (exemple, taux du livret A). Peut être dangereux ! Dans la détermination du taux dit taux d’intérêt servant à calculer l’intérêt, intervention des deux rôles de l’intérêt : - rémunération du prêteur - ou créancier - (agent économique) par l’emprunteur - ou débiteur - (autre agent économique), en compensation de la mise à disposition d’une somme d’argent, appelée capital (principal au Québec). - protection du prêteur contre le risque (érosion monétaire au cours du temps, risque de non remboursement). 3 Les taux d’intérêt ne sont pas fixés arbitrairement et ne correspondent pas obligatoirement à des règles mathématiques. Ils sont parfois définis pour des opérations de financement particulières. Taux de l’intérêt légal L’article L 313-2 du code monétaire et financier détermine le mode de fixation de ce taux. Le taux de l’intérêt légal est fixé par décret publié au début de l’année pour la durée de l’année civile. Il est égal à la moyenne arithmétique des douze dernières moyennes mensuelles des taux de rendement actuariel des adjudications de bons du Trésor à taux fixe à treize semaines. Le taux de l’intérêt légal est appliqué avec une majoration de 5 points en cas de condamnation par une décision de justice. En 2011, ce taux est de 0,38% . Taux de rémunération du livret A : Extrait de Libération (13 janvier 2012) 4 Polémique sur la rémunération du Livret A ... Le syndicat (NDLR : CGT de la Caisse des dépôts et consignations) reproche au ministre de l’Economie, François Baroin de ne pas respecter «les règles et les principes que son propre gouvernement a édictées ces dernières années». La CGT-Caisse des dépôts rappelle que depuis le 1er février 2008, la rémunération des Livrets A et LDD obéit à l’évolution de l’inflation, de l’Euribor et de l’Eonia, les deux principaux taux de référence du marché monétaire de la zone euro. Au vu des variations de ces derniers mois, «la stricte application de cette règle aboutit normalement à relever le taux du Livret A et LDD à 2,75% à partir du 1er février». Les explications de François Baroin selon lequel il convient d’«éviter la politique du yo-yo» sur la rémunération du Livret A, car l’inflation baisserait prochainement, ne sont pas jugées crédibles. On assiste au contraire à une cascade de hausses des prix (gaz, SNCF, taxis, TVA de 5,5% à 7%...). En outre, la CGT rappelle que début 2009, le gouvernement ne s’était pas gêné pour faire bouger le taux du Livret A à deux reprises, lorsqu’il s’était agi de le baisser de 2,5% à 1,25%. La décision prise récemment par le gouvernement est évidemment défavorable aux épargnants. Un ménage détenant un Livret A au plafond (15 300 euros) va perdre 75 euros, a calculé le syndicat. Pour la CGT, cette affaire profite aux banques, qui vont disposer d’une ressource pas chère puisqu'elles conservent 35% de la collecte des Livret A et LDD. Cela profite aussi aux sociétés d’assurance. Le livret A fait de la concurrence à l’assurance vie…. 5 II. Deux façons différentes de calculer les intérêts - Intérêt proportionnel à la durée de placement n : intérêts simples. - Intérêt acquis à la fin de chaque période (généralement l'année) incorporé au capital pour porter à son tour intérêt : intérêts composés. Les notations les plus fréquentes : C0 : capital initial placé (ou emprunté), Ck ou C(k) : capital à la date k I : montant de l’Intérêt i : taux d’intérêt de la période (exprimé en général en intérêt annuel pour 1 unité monétaire, euro par exemple), t : intérêt de la période exprimé en pourcentage, avec t = 100 * i n : durée de placement ou d’emprunt exprimée en nombre de périodes (années ou fractions d’années). j : nombre de jours de placement ou d’emprunt m : nombre de mois de placement ou d’emprunt N : nombre de jours de l’année (soit 365 ou 366 pour l’année civile et 360 pour l’année dite « commerciale » ou bancaire en France) 6 a) Intérêts simples : expression mathématique - durée en années I = C0 i n - durée en jours I = C0 i x j / N - durée en mois : I = C0 i x m / 12 Remarque : l’intérêt est en fait proportionnel au capital initial, à la durée et au taux. Utilisation de l’intérêt simple : généralement pour des prêts de courte durée (inférieur ou égal à 1 an). Us et coutumes : on utilise une année de : - 360 jours pour les opérations du marché monétaire (exemple : escompte commercial) - 365 jours pour les opérations du marché obligataire (ex : coupon couru pour les obligations). 7 Exemple II. 1 Calculer le montant des intérêts obtenus lors du placement d’un capital de 16 000 € pendant 28 jours à 6,5% l’an. Année commerciale I = C i j /360 = 16 000 * 0,065 * 28 / 360 = 80,89 Année réelle I ’ = C i x j / 365 = 16 000 * 0,065 * 28 / 365 = 79,78 On voit donc une différence de 1,11 € dans le montant des intérêts calculés. b) intérêts composés : expression mathématique On a vu lors du cours sur l’exponentielle que, au bout de n périodes de placement, le capital acquis est: Cn = C0 (1+i)n Remarque: d’une période à l’autre, le nouveau capital s’obtient en multipliant l’ancien capital par (1 + i). point de vue mathématique : suite géométrique de premier terme C0 et de raison (1 + i). 8 Le montant des intérêts s'exprime ainsi: In = C0 (1+i)n – C0 = C0 [ (1+i)n – 1 ] Utilisation de l’intérêt composé: en général, pour des durées supérieures à un an. III. Les notions fondamentales des mathématiques financières : Valeur acquise - Valeur actuelle III. 1 Définition de la valeur acquise En mathématiques financières, le capital à la date finale n s'appelle capital acquis ou valeur acquise. Capital acquis = montant du placement (capital à la date initiale ou date 0) + intérêts (à la fin de la période de placement). Données : capital initial (ou la suite des capitaux), le taux d'intérêt et sa période, la durée de placement. Inconnue : montant du capital que l'on touchera dans l'avenir. Représentation graphique, appelée diagramme des flux t = 0 C ( 0 ) t = n C ( n ) 9 III. 2 Définition de la valeur actuelle Définition : La valeur actuelle est la valeur aujourd'hui d'un capital dont nous connaissons la valeur n années plus tard. Cette valeur porte le nom de valeur actuelle. données : un capital final (ou une suite de capitaux), un taux et une durée. Inconnue : capital initial, à la date 0. Diagramme des flux : t = - n C ( - n ) t = 0 C ( 0 ) Notion d’actualisation La notion d’actualisation correspond au fait que l’argent n’a pas la même valeur selon la date à laquelle il est disponible. En micro-économie. Le modèle d’Arrow-Debreu d’équilibre général se base sur l’hypothèse suivante: il existe des marchés à terme pour tous les biens et toutes les périodes futures. 10 En maths fi, un taux d’actualisation sera un taux qu’on se donne en fonction du problème examiné. le taux d'actualisation est fonction: * des taux d'intérêt (ex : intérêt du court terme); * de la dépréciation monétaire * de taux préétablis (ex: rentabilité d'un investissement) * de taux de rendement (ex : rendement de certains placements sur le marché) Une question: quels critères de choix ? Un problème: confusion avec l’inflation - en fait, taux non indépendants, variant dans le même sens. III. 3. Expressions mathématiques à intérêts simples Valeur acquise V: ) N j i 1 ( C C 0 j + = où C0 désigne le capital initial, i uploads/Finance/ interets-simples-interets-composes.pdf