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Chapitre I : Opérations à 2 flux et à court termes I – Intérêts Simples A – Gén

Chapitre I : Opérations à 2 flux et à court termes I – Intérêts Simples A – Généralités. 1. Définition  Un intérêt I est dit simple lorsqu’il est  Il est fonction de : .  Attention : Il faut toujours exprimer t et n en unité de temps comparable. Par exemple t annuel et n en année, ou t mensuel et n en mois.  Exemple 1 : Soit un capital C de 100 000 euros placé durant 1 an au taux annuel de t = 4 %, le montant des intérêts perçus par l’investisseur au terme de l’année est de : I = 100 000  0,04  1 = 4 000 euros 2. Le taux d’intérêt : t Le taux d’intérêt est l’intérêt payé (ou rapporté) par période de prêt (ou le placement) d’un capital. Dans la pratique, ce taux est généralement exprimé en pourcentage (t = 9%) et pour une période annuelle. 3. La durée : n Cette donnée obéit à des conventions précises mais évolutives en fonction du type de prêt ou de placement. Il est donc nécessaire de toujours se faire préciser quelles sont les conventions adoptées si l’on veut avoir une idée précise de ce que représente véritablement le taux d’intérêt d’une opération. Si nous prenons l’exemple de calcul en nombre de jour, la durée s’exprime en fraction d’année. La Base étant le nombre de jours conventionnels dans une année, elle s’écrit :  La Base : Les cas les plus fréquents sont :  Le nombre de jours de prêt Il obéit aussi à des conventions.  Dans le cadre d’une base en jours exacts, ce nombre de jours correspond en général au nombre de jours « exacte » Ex. : entre le 2 et le 18 du mois on compte 18 – 2 = 16 jours, tout se passe comme si la somme « travaille » à partir du 3 au matin.  Dans le cadre d’une base 360, Deux modes sont utilisés, On considère que l’année de 360 jours se décompose en 12 mois de 30 jours. Quels que soient les mois considérés, N mois représentent (30  N) jours. Ce mode de calcul est surtout utilisé dans le cas de remboursement par échéances constantes.  Exercice 1 Soit un effet d’une valeur nominale de 30 000 venant à échéance le 1er juin. Il est escompté le 1er mars (date de valeur) au taux de 8%. 1°) Calculez le montant de l’intérêt payé sur cette opération, sachant que ce calcul s’effectue en nombre de jours exacts sur la base 360. On suppose qu’il n’y a pas de jours de banque. DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 1/8 2°) Quel aurait été ce même montant en adoptant un calcul en nombre de jours « en mois » / 360 ou en nombre de jours exacts / 365 ? 3°) Calculez les écarts en pourcentage par rapport au calcul du 1°). B – Intérêts pré et post-comptés 1. Intérêts pré et post-comptés Les intérêts étant calculés par la formule précédente, deux modes de versement ou de payent des intérêts sont possibles :  Les intérêts post-comptés Les intérêts sont dits post-comptés quand ils sont comptés en fin de période. Exemple 1 : Déblocage du prêt en début de période et remboursement du capital et des intérêts en fin de période. Exemple 2 : Découvert de banque pour lequel les agios sont prélevés à la fin de chaque trimestre.  Les intérêts précomptés Les intérêts sont dits précomptés quand ils sont comptés en début de période. C’est le cas notamment pour les agios et commission d’escompte qui sont décomptés au moment même de la remise de l’effet. L’entreprise ne reçoit que le montant net de l’effet. Exemple : L’emprunteur paiera les intérêts I de manière simultanée au déblocage du capital C. Il ne recevra donc en fait que C – I. En fin de période il ne remboursera que le capital C.  Exercice 2 La société MIXE remet à 30 jours de l’échéance un effet à l’escompte d’une valeur de 55 000. Le taux d’escompte est de 8% (intérêts précomptés, base 360) 1°) Calculez le montant des intérêts (on suppose qu’il n’y a pas de jours de banque). 2°) Quel serait le taux de l’opération équivalente si les intérêts étaient post-comptés ? 2. Passage du Taux post-compté au taux précompté Démonstration : (D = n/360) Ipré = CTpréD = (C - Ipré )  DTpost Donc CTpréD = (C- CTpréD) DTpost Soit Tpré = (1 – Tpré D )  Tpost Remarque : Le taux post-compté est aussi appelé taux de rendement ou taux « in fine » car il permet de calculer les intérêts réellement perçus pour un capital placé DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 2/8 II – Calcul des intérêts composés et de la valeur acquise A– Intérêts composés Un capital est placé à intérêts composés quand, à la fin de la période (dite période de capitalisation), les intérêts sont rajoutés au capital pour porter eux-mêmes intérêts pour la période suivante… C’est donc une application des suites géométriques. B – Valeur acquise d’un capital placé à intérêts composés Si Cn est la valeur acquise d’un capital C0 placé au taux périodique Tp alors Démonstration : ► Exemple 2 M. BERTO place 100 000 le 01.01.2006 pour 2 ans au taux annuel de 4%. Réponse : 108 160,00 ► Exemple 3 M. BERTO place de fin janvier à fin décembre 1 000 / mois sur un CAT (Compte A Terme) renouvelable mensuellement – intérêts réintégré au capital – au taux mensuel de 0,33%. Réponse : 12 220,21 DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 3/8 III – Taux de rendement Annuel Arithmétique : TRAA A - Taux de Rendement Annuel Arithmétique Taux permettant de calculer la quantité d’intérêts de l’opération, soit ou Remarque : Tp est le TRAA ►Exemple 4 M. BERTO place 1000 000 le 01.01.2006 pour 2 ans au taux annuel de 4%. On a calculé que la valeur du capital au terme des 2 ans est de 108 160,00. Montrer que le TRAA est de 4,08%. B - Taux proportionnel annuel (ou taux nominal) Définition : Deux Taux sont proportionnels si leur rapport est égal à celui de leur période de capitalisation respective. T = taux proportionnel annuel = 12  t (t = taux mensuel) ► Exemple 5  Si t est un taux mensuel, T = ……………………  Si t est un taux trimestriel, T = ……………………  Si t est un taux annuel, T = …………………… Remarque : C’est le taux utilisé par les banques pour le calcul des intérêts mensuels lors d’un crédit. T et t ne génèrent pas les mêmes intérêts. (cf. exercice 3) C - Taux de rendement actuariel  Définition : Deux taux sont dits équivalents s’ils génèrent, pour un capital et une durée donnée mais des périodes de capitalisation qui peuvent être différentes, un même taux d’intérêts  Taux équivalent annuel : Le plus souvent on calcule le taux actuariel annuel correspondant au taux mensuel, trimestriel…, on a alors avec Démonstration : ► Exemple 6 Quel est le taux périodique annuel équivalent au taux périodique trimestriel de 3%  Cas général : Le plus simple est d’alors écrire l’égalité des capitaux après un an soit : DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 4/8 .. IV – Calcul de la valeur actuelle dans le cas d’opérations à deux flux. A - Définition de la valeur actuelle avec : ► Exemple 7 Supposons un capital de 100 000 acquis au terme d’un placement de 5 ans au taux annuel de 10%. Recherchons le capital initialement placé pour obtenir cette somme. (Rep. : 62 092,13) B - Valeur actuelle de versements périodiques effectués en fin de période, en début de période. 1. Versements périodiques effectués en fin de période Soit a le montant des versements réalisés en fin de période de capitalisation. La valeur actuelle Va de cette suite de versement constants a fin de période, correspond à l’actualisation de chacun des versements réalisés, soit : avec : Démonstration : ► Exemple 8 M. Dupont verse chaque premier janvier et pendant 5 ans la somme de 10 000 (premier versement le 01.01.n+1) sur un compte ouvert le 01.01.n rémunéré au taux fixe annuel de 5%. Calculer la valeur actualisée au taux de 5% des versements réalisés par M. Dupont . (Rep. : 43 294,77) Remarque : La valeur actualisée, ici au taux de placement, correspond en fait au montant qu’il conviendrait de placer à ce même taux le 01.01.97 pour obtenir au terme des 5 ans la même valeur future que celle obtenue par des versement constants. 2. Versements périodiques réalisés en début de période. Le principe est identique. La valeur actuelle d’une suite de versements constants début de période est égal à Va uploads/Finance/ j1-interets-simples-et-composes 1 .pdf