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Exercices incontournables Julien Freslon MPSI • PCSI • PTSI polytechnicien, pro

Exercices incontournables Julien Freslon MPSI • PCSI • PTSI polytechnicien, professeur agrégé de mathématiques en classe préparatoire au lycée Dessaignes de Blois. Mathématiques Jérôme Poineau polytechnicien, agrégé de mathématiques, maître de conférences à l’université de Strasbourg. © Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-055592-5 © Dunod La photocopie non autorisée est un délit Avant-propos IV Partie 1 Première période 1 Fonctions usuelles 3 2 Nombres complexes 29 3 Équations différentielles 49 4 Géométrie 59 Partie 2 Analyse 5 Nombres réels, Suites 85 6 Fonctions continues 119 7 Dérivation, développements limités 139 8 Intégration 189 9 Courbes paramétrées 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 239 11 Arithmétique 251 12 Algèbre linéaire 261 13 Algèbre linéaire en dimension finie 277 14 Matrices 301 15 Polynômes 339 16 Espaces euclidiens 361 Index 393 Table des matières Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scien- tifiques. Il leur propose de mettre en pratique les notions abordées en cours de mathématiques par le biais d’exercices. Chacun est assorti d’une correction détaillée, dans laquelle l’accent est mis sur la méthode qui mène à la solution. Le livre est divisé en seize chapitres, consacrés chacun à une partie du programme. Au sein d’un même chapitre, les exercices, classés par ordre croissant de difficulté, ont été choisis de façon à passer en revue les notions à connaître, mais aussi à pré- senter les techniques susceptibles d’être utilisées. En ce qui concerne les corrections, nous avons choisi de séparer clairement la réflexion préliminaire, comprenant analyse du problème et tâtonnements, de la rédaction finale, rigoureuse et précise. Cette dernière étape est signalée, dans le texte, par la présence d’un liseré gris sur la gauche et d’un . Insistons sur le fait que nous ne prétendons nullement présenter l’unique cheminement permettant d’aboutir à la solution d’un exercice donné, ni la seule rédaction acceptable. Dans les deux cas, bien des possibilités existent ! Par ailleurs, lorsque nous avons souhaité mettre en lumière un point important nous l’avons rédigé sur un fond grisé et indiqué par un . De même, la présence d’un piège dont il faut se méfier est signalée par un . Pour finir, signalons que cet ouvrage est conçu pour les étudiants des trois filières MPSI, PCSI et PTSI. Certains exercices, cependant, ne sont accessibles qu’aux élèves de MPSI. D’autres font appel à des connaissances qui dépassent le pro- gramme de PTSI (mais pourront être traités par ceux qui suivent l’option mathé- matique en vue d’entrer en PSI). De tels exercices sont rares et nous signalons ces subtilités dans leur titre. Avant-propos Pour bien utiliser cet ouvrage : Cet encadré vous indique un point important Cet encadré met en avant un piège à éviter Le stylo-plume vous signale l’étape de la rédaction finale. Partie 1 Première période Plan 1. Fonctions usuelles 3 1.1 : Raisonnement par analyse-synthèse 3 1.2 : Étude de fonction 5 1.3 : Fonctions circulaires réciproques 7 1.4 : Arctangente 11 1.5 : Fonctions hyperboliques réciproques 15 1.6 : Calcul de limite par encadrement 18 1.7 : Études de fonctions et suites adjacentes 22 2. Nombres complexes 29 2.1 : Sommes de cosinus 29 2.2 : cos(2π/5) 32 2.3 : Racines septièmes 34 2.4 : Linéarisation, formule de Moivre 37 2.5 : Argument et Arctangente 39 2.6 : Systèmes non linéaires 41 2.7 : Méthode de Cardan 43 3. Équations différentielles 49 Équations différentielles linéaires du premier ordre 3.1 : Équation du premier ordre et variation de la constante 49 3.2 : Équation fonctionnelle de l’exponentielle Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 51 3.3 : Équation du second ordre : second membre exponentiel 53 3.4 : Équation du second ordre : second membre trigonométrique 54 3.5 : Équation du second ordre : racine double 56 4. Géométrie 59 4.1 : Géométrie du triangle 59 4.2 : Formule de Héron 61 4.3 : Droite d’Euler 63 4.4 : Cercle d’Euler 67 4.5 : Tétraèdre régulier 71 4.6 : Plans dans l’espace 74 4.7 : Perpendiculaire commune 75 3 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Exercice 1.1 : Raisonnement par analyse-synthèse 1. Déterminer les réels x tels que √x(x −3) = √3x −5. 2. Déterminer les réels strictement positifs x tels que x(xx) = (xx)x. Il s’agit de questions ouvertes : on demande de trouver les solutions d’un problème sans les donner. Une stratégie consiste à raisonner par analyse-synthèse. C’est un raisonnement en deux étapes : • Première étape (analyse du problème) : on considère une solution x de l’équation et on essaie, à partir des relations données dans l’énoncé, d’en déduire la forme de x. • Deuxième étape (synthèse) : l’étape précédente à montré que les solutions sont d’une certaine forme ; il ne reste plus qu’à vérifier, parmi ces solutions poten- tielles, lesquelles sont bien les solutions du problème. La nécessité de cette deuxième étape apparaîtra clairement dans la résolution de la première question. 1. Analyse du problème : nous allons élever au carré pour nous ramener à une équation du second degré. Soit x un réel tel que √x(x −3) = √3x −5. Alors, en élevant au carré : x(x −3) = 3x −5, soit x2 −6x + 5 = 0. D’après le cours de Terminale les réels x vérifiant cette relation sont 1 et 5. Nous avons donc démontré : si x est solution de l’équation alors x = 1 ou x = 5. Nous n’avons pas démontré que les solutions sont 1 et 5, mais uniquement qu’elles ne peuvent valoir autre chose. Il reste à vérifier si elle conviennent effec- tivement : c’est l’objet de l’étape de synthèse. Synthèse : on remplace successivement x par 5 puis 1 dans l’équation initiale, les calculs étant sans difficulté. Fonctions usuelles 1 4 Partie 1 • Première période Il est facile de vérifier que 5 est bien solution. En revanche, pour x = 1, l’équation n’a pas de sens : elle fait intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Ainsi, 1 n’est pas solution. Conclusion : 5 est l’unique réel x tel que √x(x −3) = √3x −5. Pourquoi l’étape d’analyse a-t-elle produit une « fausse solution » (dite également solution parasite) ? Nous avons élevé deux expressions au carré. Or cette opéra- tion n’est pas réversible : s’il est vrai que a = b entraîne a2 = b2, la réciproque est fausse en général. En élevant au carré, nous avons en fait résolu l’équation x(x −3) = 3x −5 qui se trouve avoir plus de solutions que l’équation de l’énoncé. 2. Analyse du problème : nous allons prendre les logarithmes afin de simplifier les puissances. Soit x un réel strictement positif tel que x(xx) = (xx)x. Alors, en prenant le logarithme : xx ln(x) = x ln(xx) = x2 ln(x). On ne peut en déduire xx = x2 en simplifiant par ln(x) : en effet, ln(x) pourrait être nul. Il faut donc ajouter une hypothèse pour poursuivre les calculs : x = / 1. Supposons x = / 1. On a alors ln(x) = / 0, donc xx = x2. En considérant à nouveau les logarithmes il vient : x ln(x) = 2 ln(x). Comme on a supposé ici x = / 1, on peut encore simplifier par ln(x), d’où x = 2. Autrement dit, nous venons de démontrer : si x est un réel strictement posi- tif distinct de 1 vérifiant x(xx) = (xx)x, alors x = 2. Ainsi, il y a ou plus deux solutions éventuelles au problème : 1 et 2. Synthèse : calculs sans astuce, attention cependant à la place des parenthèses. Il est clair que 1 convient bien. De même, 2(22) = 24 = 16 et (22)2 = 42 = 16, donc 2 convient également. Conclusion : il existe deux réels strictement positifs x tels que x(xx) = (xx)x : ce sont 1 et 2. Si l’on oublie l’étape de synthèse dans la première question, on aboutit à un résul- tat faux : il y a une solution parasite. D’autre part, si l’on ne fait pas attention lors de la simplification par ln(x) dans la deuxième question, on n’obtient que la solution x = 2. Autrement dit, le manque de rigueur dans le raisonnement mathématique peut abou- tir à trouver de « fausses solutions » ou au contraire à en oublier de vraies ! Pour éviter cela, il faut : • prendre garde, dans le type de raisonnement présenté ici, à ne pas oublier l’étape de synthèse ; • s’assurer que tous les calculs sont licites (ne pas diviser par zéro, ne pas prendre la racine carrée ou le logarithme d’un nombre négatif...) et, au besoin, distinguer des cas comme dans la deuxième question. Exercice 1.2 : Étude de fonction 1. Étudier et tracer la fonction f définie par f (x) = ln(x) x . 2. En déduire les couples (a,b) d’entiers tels que 2 ⩽a < b et ab = ba. 3. Quel est le plus grand : eπ ou πe ? 1. La démarche pour étudier une fonction est toujours uploads/Finance/ mathematiques-les-exercices-incontournables-mpsi.pdf