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La modélisation de taux d’intérêt et détermination des poids d’un portefeuille

La modélisation de taux d’intérêt et détermination des poids d’un portefeuille obligataire à l’aide de python : Nombreux modèles de structure par termes des taux d’intérêt ont été développé souvent ces dernière vingt ans afin de répondre à des besoins des institutions financières, dans ce sens divers changements radicales sur les marches financiers notamment le marche des taux qui impactent les instruments financiers de fixed incomes ou les produits d’inflation, dans cet revue on va montrer quelques modèles des taux ainsi une application sur python , dans cette série à un objectif claire et précis c’est la modélisation des taux d'intérêt, tandis que d'autres classes d'actifs comme les devises et l'inflation sont également couvertes. En fin de compte, après avoir terminé le cours, l'étudiant doit être capable de construire un portefeuille multi-actifs composé de produits linéaires et d'effectuer des calculs de xVA (CVA, BCVA et FVA) et des calculs de (H)VaR. et dans cette épisode va consacrer sur le modèles de taux d’intérêt . 1) Généralité sur les taux d’intérêt : Les obligations zéro-coupon : Elles n’offrent pas d’intérêt et sont donc vendues à un prix inférieur à la valeur remboursée à échéance par l’émetteur. Cette différence représente le rendement de l’investisseur. - On appelle zero-coupon (ZC) de maturité T un titre versant une unité monétaire à la date T, sans aucun flux monétaire avant cette maturité. - On supposera que pour tout T, il existe un zero-coupon de maturité T (ce n’est évidemment pas le cas dans la réalité ...cf; généralités sur le marche des taux d’intérêt) - On notera P(t; T ) le prix a la date t d’un ZC de maturité T. Il est clair que P(T ; T ) = 1. - Le taux zero-coupon (spot) a la date t pour la maturité T, est note Y (t; T ), et est défini par : Short rate : Un modèle de taux court est un modèle mathématique utilisé dans l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt pour illustrer l'évolution des taux d'intérêt dans le temps en déterminant l'évolution du taux court r(t) dans le temps. Dans la modélisation du taux court, la variable d'état stochastique est le taux spot à un moment donné (taux d'intérêt instantané). Par conséquent, le taux court r(t) est le taux d'intérêt annualisé, continuellement composé, auquel l'argent peut être emprunté par une entité pendant une période infiniment courte sur la courbe des taux - La courbe des taux zero-coupon (spot) à l’instant t est la fonction appliquant chaque maturité T sur le taux (spot) Y(t; T) - Cela nous donne le taux en fonction de la maturité de l’emprunt (donc la valeur temps de l’argent) - C’est équivalent à se donner la fonction T --> P(t; T) Illustration courbe des taux spot (gouvernementale zone Euro, AAA) 2) Modèles d'équilibre et de structure des taux d'intérêt : Un modèle de non-arbitrage est un modèle conçu pour être cohérent avec la structure actuelle des taux d'intérêt. La différence entre les modèles d'équilibre (endogènes) et les modèles sans arbitrage (exogènes) est que la structure actuelle des taux d'intérêt est un résultat dans un modèle d'équilibre. Dans un modèle de non-arbitrage, la structure actuelle des taux d'intérêt est une donnée d'entrée. Cela signifie que nous prenons les taux réels observés lors de la construction du modèle et que nous estimons les taux non observés. Le cadre HJM décrit un chemin clair du modèle d'équilibre vers les modèles de structure des taux. Historiquement, les modèles d'équilibre partent d'hypothèses sur les variables économiques et déduisent un processus pour le taux court. Variables économiques et dérivent un processus pour le taux court, ce qui signifie que la structure actuelle des taux d'intérêt est un résultat plutôt qu'une entrée dans le modèle. Ces modèles sont également appelés modèles de structure des taux endogènes. Le taux court (instantané) au temps t est le taux qui s'applique à une période infiniment courte au temps t. Quelques modèles d'équilibre populaires. Notamment le modèle de Vasicek : et le modèle de Cox, Ingersoll et Ross (CIR) : Ces modèles sont des modèles à un facteur, qui présentent plusieurs inconvénients, par exemple, les taux d'intérêt sont parfaitement corrélés entre les différentes échéances. - Application python : - Les résultats : L’impact de la variation de la réversion moyenne λ, et du le paramètre de volatilité γ sur les trajectoires de Monte Carlo. 3) Le cadre HJM Le cadre Heath-Jarrow-Morton représente une classe de modèles qui sont dérivés en modélisant directement la dynamique des taux à terme instantanés. Ce cadre constitue la base des modèles de taux d'intérêt car il fournit une relation explicite entre la volatilité des taux à terme instantanés et la dérive sans arbitrage. Les modèles standard de taux courts et de marché Libor peuvent tous deux être dérivés dans le cadre HJM ; cependant, en général. Les modèles HJM sont non-markoviens et il n'existe donc qu'un certain nombre de modèles avec une solution à forme fermée. 4) Taux d'intérêt forward instantané Supposons qu'au moment t, nous concluions un contrat à terme pour livrer au moment S une obligation qui arrivera à échéance au moment T. Soit le prix à terme de l'obligation. Une obligation qui arrivera à échéance au moment T. Soit le prix à terme de l'obligation P(t ; S ; T). L’obligation est désigné par P(t ; S ; T). Au même moment, une obligation à coupon zéro, P(t ; S), qui arrive à échéance au moment S, est achetée. De plus, une obligation, P(t ; T), qui arrive à échéance au moment T est également achetée. En supposant l'absence d'arbitrage et la l'intégralité du marché, l'égalité suivante doit être respectée : Maintenant, nous définissons le taux d'intérêt à terme implicite, R(t ; S ; T), au moment t pour la période [S ; T] comme suit : 4.1) Taux à terme et taux forward instantanés En mettant les deux équations en équation, on trouve : Alors que le taux d'intérêt à terme R(t ; S ; T) est donné par : En fixant la limite T - S --> 0 on arrive à la définition du taux forward instantané Dans le cadre du HJM, la dynamique des taux d'intérêt forward instantanés, f (t ; T), est analysée. Nous partons de l'hypothèse que pour une certaine échéance fixe. T ≥ 0, le taux à terme instantané f (t ; T) sous la mesure réelle P est conduit par la dynamique suivante : Dans le cadre de ce modèle, nous définissons également un compte épargne-argent comme suit : 5) Arbitrage free HJM : Comme nous le voyons, dans le cadre du HJM, le taux court r(t), est défini comme la limite du taux forward instantané r(t) ≡ f (t ; t). Le site obligation zéro-coupon, P(t ; T), avec une maturité T, suit : Bien que le ZCB P(t ; T) puisse être évalué comme une anticipation, sa valeur peut être directement liée à la courbe des taux d'aujourd'hui via : A partir de ce qui précède, nous pouvons facilement déterminer la relation suivante : Commençons par dériver la dynamique du ZCB actualisé : 6) Modèle Ho-Lee Nous spécifions une certaine forme de volatilité σ(t ; T) pour le taux à terme instantané f (t ; T) et déterminons la dynamique des taux courts qui en résulte. La première possibilité, et la plus simple, est de considérer que σ(t ; T) est constante, c'est-à-dire que D'après les dérivations précédentes, nous trouvons : Ceci peut être utilisé dans l'équation pour la dynamique du short rate, c'est-à-dire : - Application python : Dans cette application on va - Définir Pmrkt(t ; T) = exp(-r(T - t)) (cela peut être beaucoup plus impliqué ou implicite du marché), pour un certain r, calculez f (t ; T) et utilisez-le pour simuler r(t) - Considérons le modèle de Ho-Lee avec un paramètre σ librement choisi. - Il est important de choisir correctement la valeur initiale du processus r(t) : - Utilisation des chemins de Monte Carlo pour calculer - Pmrkt(0 ; T) et Pmodel(0 ; T) sont-ils les mêmes pour tous les T ? Comparaison des ZCBs du modèle de Ho-Lee par rapport au marché P(0 ; T) pour différents T. 7) Modèle Hull-White Considérons maintenant un modèle de taux court généré par la HJM volatilité donnée par : Note que Comme précédemment, la dynamique des shorts rate sous les hypothèses d'absence d'arbitrage HJM est donnée par est donnée par : Par Lemma nous trouvons : Ce qui implique que En prenant que : La dynamique du processus r(t) donne : Qui peut être facilement reconnu comme le processus de taux court de Hull-White Il est important de choisir correctement la valeur initiale du processus r(t) - Application python : Les résultats : Dans le contexte du modèle HW, l'impact de la variation de la moyenne λ, et du paramètre de volatilité η sur les chemins de Monte Carlo. 2 -ème application : - Définir Pmrkt(t ; T) = exp(-r(T - t)) (il peut être beaucoup plus uploads/Finance/ mod-lisations-des-taux-d-int-r-t-1633400189.pdf