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CCINP Maths 2 MP 2019 — Énoncé 1/5 SESSION 2019 MPMA206 ! ! ! ÉPREUVE SPÉCIFIQU

CCINP Maths 2 MP 2019 — Énoncé 1/5 SESSION 2019 MPMA206 ! ! ! ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! MATHÉMATIQUES 2 Jeudi 2 mai : 8 h - 12 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" " ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé de deux exercices et dun problème, tous indépendants. Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr . CCINP Maths 2 MP 2019 — Énoncé 2/5 EXERCICE I Dans cet exercice "Algorithme de décomposition primaire dun entier" (Informatique pour tous), on se propose d'écrire un algorithme pour décomposer un entier en produit de nombres premiers. Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code. On définit la valuation p-adique pour p nombre premier et n entier naturel non nul. Si p divise n, on note vp(n) le plus grand entier k tel que pk divise n. Si p ne divise pas n, on pose vp(n) = 0. L'entier vp(n) s'appelle la valuation p-adique de n. Q1. Écrire une fonction booléenne estPremier(n) qui prend en argument un entier naturel non nul n et qui renvoie le booléen True si n est premier et le booléen False sinon. On pourra utiliser le critère suivant : un entier n ! 2 qui n'est divisible par aucun entier d ! 2 tel que d 2 ! n, est premier. Q2. En déduire une fonction liste_premiers(n)qui prend en argument un entier naturel non nul n et renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Q3. Pour calculer la valuation 2-adique de 40, on peut utiliser la méthode suivante : 40 est divisible par 2 et le quotient vaut 20 20 est divisible par 2 et le quotient vaut 10 10 est divisible par 2 et le quotient vaut 5 5 n'est pas divisible par 2. La valuation 2-adique de 40 vaut donc 3. Écrire une fonction valuation_p_adique(n, p) non récursive qui implémente cet algorithme. Elle prend en arguments un entier naturel n non nul et un nombre premier p et renvoie la valuation p-adique de n. Par exemple, puisque 40 = 23×5, valuation_p_adique(40, 2) renvoie 3, valuation_p_adique(40, 5) renvoie 1 et valuation_p_adique(40, 7) renvoie 0. Q4. Écrire une deuxième fonction cette fois-ci récursive, val(n, p) qui renvoie la valuation p-adique de n. Q5. En déduire une fonction decomposition_facteurs_premiers(n) qui calcule la décomposition en facteurs premiers d'un entier n ! 2. Cette fonction doit renvoyer la liste des couples (p, vp(n)) pour tous les nombres premiers p qui divisent n. Par exemple, decomposition_facteurs_premiers(40) renvoie la liste [[2, 3], [5, 1]]. Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr . CCINP Maths 2 MP 2019 — Énoncé 3/5 EXERCICE II Soit E un espace euclidien muni dun produit scalaire noté , ! " . On note 2 , . # ! " x x x Q6. Un endomorphisme u de E vérifiant, pour tout vecteur , ( ), 0 $ ! " # x E u x x , est-il nécessairement lendomorphisme nul ? Q7. Étant donné un endomorphisme u de E, on admet quil existe un unique endomorphisme v de E vérifiant : ( , ) ², ( ), , ( ) x y E u x y x v y % $ ! " # ! " . Démontrer léquivalence des trois propriétés suivantes : i. . # uov vou ii. ( , ) ², ( ), ( ) ( ), ( ) % $ ! " # ! " x y E u x u y v x v y . iii. , ( ) ( ) % $ # x E u x v x . On pourra, par exemple, successivement prouver les implications : i &ii, ii &iii, iii &ii et ii &i. PROBLÈME On sintéresse dans ce problème, à travers divers exemples, à quelques méthodes pour prouver que deux matrices sont semblables. Par la suite, n désigne un entier naturel, 2. ' n Partie I Étude de quelques exemples Q8. Justifier que deux matrices de ( ) ! n M qui sont semblables ont la même trace, le même rang, le même déterminant et le même polynôme caractéristique. Q9. On donne deux matrices : 1 1 1 0 2 0 0 0 2 ( ) * + # * + * + , - A et 1 0 0 0 2 1 0 0 2 ( ) * + # * + * + , - B . Vérifier que ces deux matrices ont la même trace, le même déterminant, le même rang et le même polynôme caractéristique. Ces deux matrices sont-elles semblables ? (on pourra vérifier que lune de ces matrices est diagonalisable). Ont-elles le même polynôme minimal ? Q10. On donne deux matrices : 0 1 1 1 0 0 2 1 0 ( ) * + # * + * + , - A et 0 1 0 1 0 1 1 2 0 ( ) * + # * + * + , - B . Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr . CCINP Maths 2 MP 2019 — Énoncé 4/5 Établir que ces deux matrices sont semblables par les deux méthodes suivantes : première méthode : en utilisant u lendomorphisme associé à A dans une base ( 1 2 3 , , e e e ) dun espace vectoriel E et en cherchant, sans calculs, une nouvelle base de E ; deuxième méthode : en prouvant que le polynôme 3 3 1 ! ! X X admet trois racines réelles distinctes (que lon ne cherchera pas à déterminer) notées , " # et $ . Q11. Démontrer que toute matrice % A ( ) ! n M de rang 1 est semblable à une matrice : 1 2 0 0 . 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . 0 & ' ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) + , n a a U a % ( ) ! n M . On pourra utiliser lendomorphisme u canoniquement associé à la matrice A. Q12. Application : soit E un espace vectoriel de dimension 2 - n et u un endomorphisme de E de rang 1 vérifiant 0 . uou , démontrer que u est diagonalisable. On pourra calculer 2 U . Q13. Démontrer quune matrice symétrique à coefficients complexes nest pas nécessairement diagonalisable. Q14. On donne une matrice " # " # # " # " " # " # # " # " & ' ( ) ( ) * ( ) ( ) + , A où " et # sont deux nombres complexes non nuls, différents et non opposés. Déterminer le rang de la matrice A et en déduire que 0 est valeur propre de A. Justifier que 2( ) " # / et 2( ) " # ! sont aussi valeurs propres de A. Préciser une base de vecteurs propres de A. Dans cette question, il est déconseillé de calculer le polynôme caractéristique de la matrice A. Q15. Démontrer que quels que soient les réels non nuls a, b et le réel 0 , les matrices 0 0 0 & ' * ( ) + , a A et 0 0 0 & ' * ( ) + , b B sont semblables. Partie II Démonstration dun résultat On se propose de démontrer que deux matrices de ( ) ! n M qui sont semblables dans ( ) " n M sont semblables dans ( ) ! n M . Soient A et B deux matrices de ( ) ! n M semblables dans ( ) " n M , il existe une matrice P inversible à coefficients complexes telle que 1 ! * B P AP . Écrivons P R iS * / où R et S sont deux matrices à coefficients réels. Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr . CCINP Maths 2 MP 2019 — Énoncé 5/5 Q16. Démontrer que * RB AR et * SB AS . Q17. Justifier que la fonction det( ) x R xS / # est une fonction polynomiale non identiquement nulle et en déduire quil existe un réel x tel que la matrice R xS / soit inversible. Q18. Conclure que les matrices A et B sont semblables dans ( ) ! n M . Q19. Application : démontrer que toute matrice A de 3( ) ! M de polynôme caractéristique 3 / X X est semblable à la matrice 0 0 0 0 0 1 0 1 0 & ' uploads/Finance/ mp-maths-ccp-2-2019-enonce.pdf