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Mathématiques et sciences humaines Mathematics and social sciences 186 | Été 20

Mathématiques et sciences humaines Mathematics and social sciences 186 | Été 2009 Varia Fondements de la théorie des valeurs extrêmes, ses principales applications et son apport à la gestion des risques du marché pétrolier Fundamentals of extreme value theory, its principal applications and its contribution to the risk management of the oil market Bechir Raggad Édition électronique URL : http://journals.openedition.org/msh/11069 DOI : 10.4000/msh.11069 ISSN : 1950-6821 Éditeur Centre d’analyse et de mathématique sociales de l’EHESS Édition imprimée Date de publication : 12 octobre 2009 Pagination : 29-63 ISSN : 0987-6936 Référence électronique Bechir Raggad, « Fondements de la théorie des valeurs extrêmes, ses principales applications et son apport à la gestion des risques du marché pétrolier », Mathématiques et sciences humaines [En ligne], 186 | Été 2009, mis en ligne le 15 octobre 2009, consulté le 19 avril 2019. URL : http:// journals.openedition.org/msh/11069 ; DOI : 10.4000/msh.11069 © École des hautes études en sciences sociales Math. Sci. hum / Mathematics and Social Sciences (47e année, n° 186, 2009(2), p. 29-63) FONDEMENTS DE LA THÉORIE DES VALEURS EXTRÊMES, SES PRINCIPALES APPLICATIONS ET SON APPORT À LA GESTION DES RISQUES DU MARCHÉ PÉTROLIER Bechir RAGGAD1 RÉSUMÉ – Depuis quelques années, la théorie des valeurs extrêmes a reçu beaucoup d’attention aussi bien sur le plan théorique que sur le plan pratique. Les domaines d’applications sont en effet très variés : hydrologie, météorologie, biologie, ingénierie, gestion de l’environnement, finance, assurance, sciences sociales, etc. ; en effet la gestion des risques est devenue aujourd’hui fondamentale dans tous ces domaines. Cependant, ce type d'analyse basé sur la théorie des valeurs extrêmes est limité, voire très limité pour analyser les risques encourus sur le marché pétrolier alors que ces techniques peuvent sans doute aider à l'étude quantitative des risques. Le succès croissant de cette théorie nous a incité à mieux explorer son apport en matière de la gestion des fluctuations extrêmes sur le marché pétrolier. MOTS-CLÉS – Analyse de sensibilité, Gestion des risques, Loi de Pareto généralisée, Pétrole, Théorie des valeurs extrêmes, « Value at Risk » SUMMARY – Fundamentals of extreme value theory, its principal applications and its contribution to the risk management of the oil market For many years, Extreme value theory has received much attention on the theoretical level as well as on the practical one. The scope of its applications are indeed very varied and include hydrology, meteorology, biology, engineering, environmental management, finance, insurance, social life, etc. since risk management has become fundamental today in all these fields. However, this type of analysis based on the extreme value theory is little, even very limited to analyze the risks incurred on oil market whereas these techniques can undoubtedly help in a quantitative study of the risks. The increasing success of this theory in many fields encouraged us to better investigate its contribution to risk management of extreme fluctuations on crude oil market. KEYWORDS – Crude oil, Extreme value theory, Generalized Pareto law, Risk management, Sensitivity analysis, Value at Risk 1. INTRODUCTION La modélisation des événements extrêmes (ouragan, tremblement de terre ou inondation, crues, crises financières, krachs, chocs pétroliers) est aujourd'hui un champ de recherches particulièrement actif, notamment par l'importance de leurs impacts économiques et sociaux. En particulier, depuis quelques années, on note un intérêt croissant pour l’application de la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) pour la modélisation de tels événements. Pour une présentation assez complète du sujet, nous renvoyons à l’ouvrage de référence de Embrechts, Klüppelberg et Mikosch [1997] 1 Laboratoire Business & Economic STatistics MODling (BESTMOD), Institut Supérieur de Gestion, 41 rue de la Liberté, Cité Bouchoucha, Le Bardo 2000, Tunis, Tunisie, raggadbechir@yahoo.fr B. RAGGAD 30 rappelant les principaux résultats théoriques sur la TVE et à Reiss et Thomas [2001] qui proposent un certain nombre d'exemples pratiques, en finance, en assurance et en sciences environnementales. Les domaines d’applications utilisant les modèles de la TVE n’ont cessé de se développer ces dernières années touchant des domaines variés. En hydrologie, domaine dans lequel la prévision des crues par exemple est particulièrement importante [Davison et Smith, 1990 ; Katz, 2002], en assurance dont l'une des préoccupations est la prise en compte des grands sinistres [McNeil et al., 1997 ; Rootzen et Tajvidi, 1997]. Leur introduction en finance [Embrechts et al., 1997 ; Danielsson et de Vries, 1997 ; McNeil, 1998 ; Longin, 1998, 2000 ; Embrechts, 1999 ; Gençay et Selçuk, 2004]) est une réponse immédiate à la remise en cause de l'hypothèse de normalité surtout avec les observations en hautes fréquences. En météorologie [Coles et Walshaw, 1994 ; Smith, 2001 ; Klajnmic, 2003] où l'étude de la vitesse du vent, par exemple, permet d'évaluer le degré de résistance des matériaux face à la pression exercée par le vent (au cours d'une tempête par exemple) sur les bâtiments ou les structures de génie civil. Dans les domaines des sciences humaines et sociales, la théorie des valeurs extrêmes pourra également contribuer à la compréhension de nombreux problèmes sociaux. À titre d’exemple, dans le domaine de la démographie, tout un débat qui a été initié par Gumbel [1937], auquel Fréchet a pris une part active, sur la notion de « durée extrême de la vie humaine» et sur sa mesure [Thatcher, 1999]. Des études récentes ont mis en lumière l'allure remarquable de la mortalité aux grands âges, à savoir une décroissance du taux de croissance de la mortalité à partir d'un certain âge. Horiuchi et Wilmoth [1998] ont ainsi montré que sur l'échelle logarithmique, la courbe des taux de mortalité présentait une allure concave aux grands âges. Ceci a conduit les démographes à rechercher des modèles compatibles avec cette réalité. Les démographes peuvent également se demander s’il existe un âge limite au-delà duquel nul ne survit ? Si oui, quel est cet âge ultime, auquel chacun peut rêver de parvenir ? La TVE permet de prévoir et d’extrapoler la distribution de probabilité de l’âge maximum que l’être humain pourrait atteindre [Ledford et Robinson, 1999 ; Han, 2005]. La TVE va contribuer vivement au débat sur l’existence d’un âge limite de longévité de l’être humain. Une telle étude est souvent utile pour les organismes de sécurité sociale (dépenses destinées aux personnes âgées, coût de traitement, …). Prévoir certains évènements ou comportements, à partir d'une étude des valeurs extrêmes d'une série, est donc un des principaux objectifs pour ceux qui tentent d'appliquer la théorie de ces valeurs. Cette théorie est apparue entre 1920 et 1940, grâce à Fréchet, Fisher et Tippett, Gumbel et Gnedenko. Lorsque l’on modélise le maximum d’un ensemble de variables aléatoires, alors, sous certaines conditions que nous préciserons plus loin, la distribution ne peut appartenir qu’à l’une des trois lois suivantes: Weibull (à support borné), Gumbel et Fréchet (à support non borné). Ces trois lois définissent une famille de distributions statistiques appelée « famille paretienne », dont les applications en sciences sociales sont innombrables et très diverses. Sur ce vaste thème, nous renvoyons à l’article de Barbut [1998] portant sur l’application de ces lois à l'étude de la concentration urbaine et de son évolution. L’introduction de la TVE est devenue une exigence dans de nombreux domaines. En effet, les outils probabilistes traditionnels (développés dans un univers gaussien) sont inadaptés à l’appréhension de ces comportements extrêmes : la moyenne n’existe plus dans le nouvel univers des risques. Pourtant, il existe des situations dans lesquelles cette opération de moyennisation est légitime pour des variables concentrées autour de leur moyenne, avec des variations de faible amplitude, dont toutes les valeurs THÉORIES DES VALEURS EXTRÊMES ET APPLICATIONS 31 pratiquement possibles sont du même ordre de grandeur : celles de « l'homme moyen » de Quetelet2. La présence des extrêmes dans une population statistique rend donc caduque l’approche de Quételet et nécessite une autre approche, celle inventée par Pareto fin du XIXe siècle. Pareto s’intéresse à la distribution des revenus dans une économie donnée. Il a constaté que les revenus se répartissent toujours selon une loi mathématique décroissante d’allure entre une petite minorité de riches, une classe moyenne minoritaire, et une large majorité de pauvres. Il a montré que plus que plus les revenus sont élevés, plus la queue de distribution des revenus sera hyperbolique. Cette forme d’hyperbole permet une modélisation précise de la queue de distribution des revenus, et donc permet de bien décrire l’impact des grands revenus sur le revenu moyen. Pour plus de détails sur les lois de type Pareto, nous renvoyons à Barbut [1988]. Il est à noter également que les distributions "-stables de Lévy, introduites pour la première fois en finance par Mandelbrot [1962], constituent une classe très riche de lois de probabilité capables de représenter différentes asymétries et des queues très lourdes. Une distribution stable possède la propriété suivante : la queue de distribution d’une loi stable décroît selon une loi de Pareto. De nombreuses études statistiques ont été réalisées sur les marchés depuis les travaux de Mandelbrot [1962, 1963] et de Fama [1965]. Toutefois, l’absence de formules explicites des densités de ces distributions a limité leur utilisation. Les distributions de cette classe ont un comportement uploads/Finance/ msh-11069-pdf.pdf