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Module : Statistique 2. Les caractéristiques de position (ou de tendance centra

Module : Statistique 2. Les caractéristiques de position (ou de tendance centrale) Nous avons vu les tableaux et les graphiques qui permettent d’analyser les séries statistiques. Parfois, un tableau statistique ou un graphique sont longs à consulter et ne permettent pas d’avoir une idée suffisamment concise de la série observée. On cherche alors à résumer celle-ci par un seul indicateur qui caractérisera l’ensemble de la série : il s’agit des caractéristiques de tendance centrale ou de position 2.1. Le mode : 2.1.1. Cas d’un caractère qualitatif : Exemple : Le tableau suivant représente la répartition de 30 salariés d’une E/se selon leur niveau scolaire : Niveau scolaire Ni Fi Travail à faire : 1. Compléter le tableau 2. Quel est le niveau le plus dominant ? 3. Représenter graphiquement la série à l’aide d’un diagramme à barres 4. Que remarquez-vous ? 5. A votre avis, quel intérêt présente la détermination du mode ? Sans 3 Primaire 0,5 Secondaire collégial 9 Secondaire qualifiant 0,1 supérieur Total Solution : Niveau scolaire Ni Fi 6. Sans 3 0,1 Primaire 15 0,5 Secondaire collégial 9 0,3 Secondaire qualifiant 3 0,1 supérieur 0 0 Total 30 1 1. le niveau le plus dominant est le niveau primaire. Cette modalité a l’effectif le plus élevé (ou la fréquence la plus élevée)  c’est le mode On appelle « Le mode » la valeur du caractère qui correspond à l’effectif le plus élevé (c’est la modalité la plus fréquente, la plus dominante). Il est noté Mo 2. D’après le graphique, on constate que : Mo = niveau primaire Ainsi, il paraît nécessaire d’assurer une formation au profit des salariés 1 Module : Statistique 2.1.2. Cas d’un caractère quantitatif discret : Exemple : soit le tableau suivant relatif au nombre d’enfants à charge de 60 salariés d’une E/se : Nombre d’enfants Ni Fi en % Travail à faire : 1. compléter le tableau ; 2. Déterminer le mode ; 3. Représenter graphiquement les Fi à l’aide d’un diagramme en bâtons ; Que remarquez-vous ? 4. à votre avis, quel intérêt présente le calcul du mode ? 0 15 1 12 2 35 3 4 6 Total SOLUTION : Nombre d’enfants Ni Fi en % 1. Mo = 2 signifie que le nombre d’enfants à charge le plus dominant est deux (à prendre en considération si l’E/se désire motiver son personnel) 2. 0 9 15 1 12 20 2 21 35 3 12 20 4 6 1 Total 60 100 2.1.3. Cas d’un caractère quantitatif continu : Exemple : le tableau ci-dessous donne les résultats d’une enquête visant à connaître la tranche d’âge où il y a le plus de fumeurs : Classes d’âge Nombre de fumeurs Fi en % Travail à faire : 1. Compléter le tableau 2. Déterminer le mode ; 3. Représenter graphiquement les Fi à l’aide d’un histogramme. Que remarquez-vous ? 4. à votre avis, quel intérêt présente le calcul du mode ? N.B : les amplitudes sont constantes. L’intervalle de variation étant égal à 50. 10 35 40 30 [ 50 ; 60 ] Total 200 1. Classes d’âge Nombre de fumeurs Fi en % Dans cet exemple, l’effectif le plus élevé correspond à la classe [20 ; 30[appelée classe modale. Pour déterminer le mode, certains auteurs préconisent par simplicité de prendre le centre de la classe modale. Il est préférable cependant de tenir compte des classes adjacentes (voisines) :   d1 Mode = Mo = L1 + a d1 + d2  [ 10 ; 20 [ 20 10 [ 20 ; 30 [ 70 35 [ 30 ; 40 [ 40 20 [ 40 ; 50 [ 30 15 [ 50 ; 60 [ 40 20 Total 200 100 Avec : L1 : limite inférieure de la classe modale a : Amplitude (L2 – L1) d1 : différence entre l’effectif de la classe modale et celui de la classe précédente ; d2 : différence entre l’effectif de la classe modale et celui de la classe suivante. 2 Module : Statistique Cas de l’exemple : Mo = 20 + (10 * 50/50+30) = 26,25 Interprétation : L’âge des fumeurs le plus dominant est 26 ans 3 mois. Donc s’il y a des mesures à prendre, il faut s’intéresser davantage à cette catégorie d’âge Représentation graphique : Remarque : Les amplitudes des classes doivent être égales, sinon il faut procéder à une rectification des classes. En effet, les valeurs des observations doivent être proportionnelles aux amplitudes des classes. Application : Déterminez la valeur modale de la distribution suivante, de 50 étudiants selon leur taille : Taille en cm Nombre d’élèves a Ni corrigés 140 - 160 - - 175 - 190 190 - 12 6 6 10 10 6 1 Total - 1. Calculer les effectifs corrigés ; 2. Déterminer le mode : a. Par calcul b. graphiquement SOLUTION : Taille en cm Nombre d’élèves a Ni corrigés 140 - 160 160 - 170 170 - 175 175 - 190 190 - 200 12 6 6 24 2 20 10 5 15 10 3 3 6 8 1 Total 50 - - 3 Module : Statistique 2.1.4. Cas particuliers : Exemple 1 : Soit les notes suivantes obtenues par 4 élèves de 1ère Bac Sciences éco : Elève 1 Elève 2 Elève 3 Elève 4 2 ; 5 ; 10 ; 15 ; 7 ; 12 ; 19 ; 8 ; 11 ; 14 3 ; 13 ; 9 ; 9 ; 12 ; 12 ; 15 ; 20 ; 12 ; 18 9 ; 15 ; 20 ; 20 ; 15 ; 17 ; 14 ; 20 ; 6 ; 15 10 ; 5 ; 8 ; 11 ; 5 ; 8 ; 11 ; 5 ; 11 ; 8 Elève 1 Elève 2 Elève 3 Elève 4 2 ; 5 ; 10 ; 15 ; 7 ; 12 ; 19 ; 8 ; 11 ; 14 3 ; 13 ; 9 ; 9 ; 12 ; 12 ; 15 ; 20 ; 12 ; 18 9 ; 15 ; 20 ; 20 ; 15 ; 17 ; 14 ; 20 ; 6 ; 15 10 ; 5 ; 8 ; 11 ; 5 ; 8 ; 11 ; 5 ; 11 ; 8 Cette série n’a pas de mode Cette série dispose d’un seul mode : Mo = 12 Cette série dispose de 2 modes : Mo1 = 15 Mo2 = 20 Cette série dispose de 3 modes : Mo1 = 5 ; Mo2 = 8 Mo3 = 11 Série sans mode Série unimodale Série bimodale Série multimodale Exemple 2 : Soit les deux séries suivantes relatives à la répartition de 80 logements selon la superficie : Quartier TARGA : Surface en m2 Nombre de logements Inférieure à 50 m2 40 [ 50 ; 100 [ 20 [ 100 ; 150 [ 15 [ 150 ; 200 [ 5 TAF : calculer et commenter le mode Quartier Boutalamine : Surface en m2 Nombre de logements Inférieure à 50 15 [ 50 ; 100 [ 25 [ 100 ; 150 [ 5 150 m2 et plus 35 TAF : calculer et commenter le mode Classe modale est Classe modale est Quartier TARGA : Surface en m2 Nombre de logements Inférieure à 50 m2 40 [ 50 ; 100 [ 20 [ 100 ; 150 [ 15 [ 150 ; 200 [ 5 TAF : calculer et commenter le mode Quartier Boutalamine : Surface en m2 Nombre de logements Inférieure à 50 15 [ 50 ; 100 [ 25 [ 100 ; 150 [ 5 150 m2 et plus 35 TAF : calculer et commenter le mode Classe modale est la 1 ère classe. On considère que la Li de la 1ère classe est 0 puisque les amplitudes sont égales dans les autres classes. Mo = 0 + [ 50 * (40 / 40 + 20) ] = 33,33 m2 La plupart des logements du quartier TARGA ont une superficie de 33,33 m2 Classe modale est la dernière classe. On considère que la Ls de cette classe est 200 puisque les amplitudes sont égales dans les autres classes. Mo = 150 + [ 50 * (30 / 30 + 35) ] = 173,08 m2 C’est la superficie la plus dominante 4 Module : Statistique 2.2. La moyenne arithmétique : 2.2.1. La moyenne arithmétique simple : Exemple : Soit les notes des contrôles de statistique d’un élève en 1ère année du Bac éco : 15 ; 14 ; 15 ; 13 ; 17 ; 16 Travail à faire : Calculer la note moyenne de cet élève. Réponse : La moyenne arithmétique est symbolisée par x , ainsi : x = 15 + 14 + 15 + 13 + 17 + 16 = 15  La note moyenne de cet élève est égale à 15. 6 La moyenne arithmétique simple d’une série de n observations est le quotient de leur somme par n : x = x1 + x2 + x3 + … + xn uploads/Finance/ partie-4-les-caracteristiques-de-position.pdf