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1 GESTION D'UN PORTEFEUILLE TITRES PAR LES METHODES ANALYTIQUES : LES MODELES D

1 GESTION D'UN PORTEFEUILLE TITRES PAR LES METHODES ANALYTIQUES : LES MODELES DE GESTION DE PORTEFEUILLE A. Bendriouch LE RENDEMENT ET LE RISQUE D'UN PORTEFEUILLE Nous avons déjà eu l'occasion d'expliquer par ailleurs dans une note séparée les notions de rentabilité -risque et leur interrelation pour les titres pris individuellement. Ici, nous reprenons ces notions dans le cadre de la gestion de portefeuille. Supposons pour cela un portefeuille compose de deux A et B ayant les caractéristiques suivantes : • le titre A ayant un risque de 12% et une espérance de rendement de 10% • le titre B ayant un risque de 17% et une espérance de rendement de 20% Comment à partir de ces caractéristiques individuelles des titres A et B peut-on en déduire la rentabilité et le risque au niveau du portefeuille. Ce qui sera dit ci-après pour un portefeuille de deux titres est évidemment généralisable pour des portefeuilles de plusieurs titres. Le rendement du portefeuille : Etant donne que l'espérance mathématique est un opérateur linéaire, cela nous permet de poser que l'espérance de gain du portefeuille est égale a la somme des espérances de gain des titres qui le composent, soit : E(Rp) = aE(RA) + bE(RB) avec • E(Rp): l'espérance de rendement du portefeuille • E(RA): l'espérance de rendement du titre A • E(RB): l'espérance de rendement du titre B • a: la part investie dans le titre A en pourcentage • b: la part investie dans le titre B (b = 100% - a) Si l'on reprend notre exemple et que l'on investit 60% des capitaux du portefeuille dans le titre A et 40% dans le titre B, nous obtenons une espérance de rendement qui est de 14% : 0.6 x 10% + 0.4 x 20% = 14% Le risque du portefeuille Le risque du portefeuille est souvent mesure par l'ecart-type, qui n'est autre que la racine carrée de la variance. Malheureusement, contrairement à l'espérance mathématique, la variance n'est pas un opérateur linéaire, ce qui ne nous autorise pas à poser que la variance du portefeuille est égale à la somme des variances. En fait, la variance du portefeuille vaut : 2 ä2 p = aä2 A + bä2 B + 2ab cov(A,B) ou encore : äp = äA + äB + 2ab ñAB x äAx äB avec : • äp: le risque du portefeuille (variabilité ou dispersion des rendements du portefeuille) • äa: le risque du titre A • äb: le risque du titre B • ñab: le coefficient de corrélation entre les rendements du titre A et du titre B • a: la part investie dans le titre A en pour-cent • b: la part investie dans le titre B (b = 100% - a) Dans notre exemple, si l'on suppose un coefficient de corrélation de -0.2, nous obtenons un risque du portefeuille de 8.8%. Notre portefeuille présente donc un risque de 8.8% et un rendement de 13%: on remarque qu'il est moins risqué et plus rentable qu'un investissement dans le titre A. Il vaut donc mieux investir dans le portefeuille que dans le titre A. Comment baisser le risque d'un portefeuille : diversification Chaque titre comporte un risque que l'on peut décomposer en deux catégories: le risque spécifique de chaque titre, et le risque systématique, lié aux mouvements du marché. Lorsque l'on constitue un portefeuille de titres, on achète dans différentes proportions plusieurs titres. L'un des grands principes de la constitution de portefeuilles repose sur un adage de pur bon sens: ne pas mettre tous ses oeufs dans le même panier. Le pionnier de la finance moderne, Markowitz, inventeur de la théorie moderne du portefeuille, est en fait arrivé à démontrer en termes mathématiques la réalité de ce proverbe. Il a établi de manière irréfutable que le risque total d'un groupe de titres est inférieur à la somme des risques de ces titres individuels. En d'autres termes, investir dans un groupe de titres (diversifier ses investissements) permet de diminuer le risque sans perte de rendement. Cette découverte repose sur le fait que les risques spécifiques de chaque titre se compensent et finissent par disparaître complètement à partir d'un certain nombre de titres. Le seul risque qui subsiste pour ce type de portefeuilles, dits portefeuilles bien diversifiés, est la combinaison des risques systématiques des différents titres. 3 Risque et diversification Le graphique ci-dessus illustre la réduction du risque issue de la diversification. Pour trois niveaux différents du bêta, on constate que le risque diminue lorsque le nombre de titres augmente. Cependant, il est à noter qu'à partir d'un certain nombre de titres (500 dans le graphique) le risque ne baisse plus même si l'investisseur en acquiert davantage. D'ailleurs, un portefeuille avec un grand nombre de titres perd de son caractère et devient vite difficilement gerable. Comment alors diversifier avec un minimum de titres qui assurent un risque minimum ?. Pour répondre à cette question, il faut procéder à un traitement statistique et calculer les corrélations deux a deux des titres. Le coefficient de corrélation (ñ) Le coefficient de corrélation linéaire permet de mesurer la relation statistique pouvant exister entre les variations des titres pris deux à deux. Un coefficient de corrélation ñAB entre les prix de deux titres A et B prix sur une période peut varier entre -1 et +1. Une valeur de : • -1, signifie que la hausse d'un titre (A) est compensée par la baisse de l'autre titre (B) • 0, signifie qu'il n'existe aucune relation linéaire de la variation du prix d'un titre par rapport à l'autre • 1, signifie que les deux titres varient dans le même sens. La réduction du risque est d'autant plus importante que les actifs sont non auto corrélés ou ne varient pas dans le même sens. En effet, si le titre A baisse lorsque le titre B augmente, le portefeuille variera peu et donc son risque sera faible. Pratiquement, ce traitement statistique est fait sur l'ensemble des titres éligibles au portefeuille, en calculant la matrice des auto corrélations sur la base de laquelle on sélectionne ceux que l'on intégrera au portefeuille. Pour plus de développements sur les traitements statistiques des corrélations, on se reportera à notre ouvrage " La Statistique pour la pratique dans la gestion et l'économie". LES PORTEFEUILLES EFFICIENTS Qu'est-ce qu'un portefeuille efficient ? La diversification d'un portefeuille amène une réduction de risques pour l'investisseur. En d'autres termes, un investisseur a intérêt à investir dans plusieurs titres, c'est-à-dire qu'il doit composer un portefeuille. Il s'agit maintenant de savoir quel portefeuille il devra choisir. Soient les portefeuilles suivants : • portefeuille A, dont le risque est de 10% et le rendement de 20% • portefeuille B, dont le risque est de 10% et le rendement de 10% • portefeuille C, dont le risque est de 10% et le rendement de 15% 4 On remarque que tous les portefeuilles ont le même niveau de risque. Dès lors, tout investisseur rationnel va choisir le portefeuille qui offre le plus de rendement : le portefeuille A. Il s'agit en fait d'un portefeuille efficient. Les portefeuilles efficients sont un ensemble de portefeuilles qui, pour un risque donné, présentent un rendement maximum ou qui, pour un rendement donné, présentent un risque minimum. Dans le cas ou il y'a ou égalité de rentabilité ou égalité de risque (cas de nos 3 portefeuilles qui ont même risque de 10%), le choix d'un portefeuille est immédiat. Mais les choses se compliquent quand on doit choisir entre des portefeuilles ayant des rentabilites et des risques différents. Comment choisir dans ces cas ? les développements qui suivent permettront d'éclairer la décision. La frontière efficiente La frontière efficiente correspond, sur un graphique mettant en relation le risque et le rendement, à la courbe composée de tous les portefeuilles efficients. Elle peut être interprétée de deux manières: • il n'existe aucun portefeuille qui, pour un risque donné, n'ait une espérance de rendement supérieure au portefeuille qui possède le même risque et qui se situe sur la frontière efficiente • il n'existe aucun portefeuille qui, pour un rendement donné, n'ait un risque supérieur au portefeuille qui possède le même rendement et qui se situe sur la frontière efficiente. Pour trouver cet ensemble de portefeuilles, il suffit d'écrire un programme qui, pour chaque niveau de risque (5%, 6%,...) maximise l'espérance de rendement en changeant les pondérations investies dans chaque titre. Le graphique qui suit illustre ce point : Frontière des portefeuilles efficients Les croix représentent les titres individuels (positionnés en fonction de leur risque et leur rendement) et la partie de la courbe en rouge représente l'ensemble des portefeuilles efficients composés à partir des titres individuels. Cette méthode permet à chaque investisseur de choisir son portefeuille optimal en fonction de son attitude face au risque. Le portefeuille de marché et la frontière efficiente Si, dans la détermination du portefeuille efficient, nous incluons l'actif hors risque, nous allons obtenir une droite qui représentera la frontière efficiente. Il a été démontré que cette droite est la tangente à la frontière efficiente lorsque celle-ci est calculée sans uploads/Finance/ portefeuille.pdf