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ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA - ABIDJ

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA - ABIDJAN ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE ENSAE - DAKAR INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA - YAOUNDÉ AVRIL 2020 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS voie B Option Économie MATHÉMATIQUES (Durée de l’épreuve : 4 heures) Le sujet se compose de 5 exercices indépendants que les candidats peuvent traiter dans l’ordre de leur choix. La clarté et la précision de la rédaction entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Exercice 1 Pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x positif ou nul, on pose fn(x) = n X k=1 xk −1. Ainsi, pour tout x ⩾0, f1(x) = x −1, f2(x) = x2 + x −1. 1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, l’équation fn(x) = 0 admet une unique solution strictement positive notée un. 2. Calculer u1 et u2. 3. Montrer que la suite (un) est décroissante. Que peut-on en déduire ? 4. En calculant fn(x) + 2 pour x ̸= 1, montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un = 1 2(1 + un+1 n ). Calculer la limite de la suite (un). 1 Exercice 2 Pour tout entier naturel n, n ⩾2, on pose In(A) = Z A 1 ln(x) xn dx pour A > 1. 1. On note fn la fonction déﬁnie sur ]0; +∞[ par fn(x) = ln(x) xn−1 et on note f ′ n sa dérivée. Calculer f ′ n(x). 2. Calculer In(A) et montrer qu’elle admet une limite quand A tend vers +∞. Montrer que cette limite, notée Z +∞ 1 ln(x) xn dx, a pour valeur 1 (n −1)2. 3. Soit X la variable aléatoire dont la densité est la fonction φ est déﬁnie par : φ(x) = 0 si x < 1 et φ(x) = kln(x) x4 si x ⩾1, où k est un réel. (a) Calculer k. (b) Calculer l’espérance et la variance de X. Exercice 3 Dans cet exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à 3. On considère l’endomorphisme f de Rn dont la matrice relative à la base canonique (e1, e2, ..., en) est N. Cette matrice est constituée de « 1 » sur la première et la dernière colonne et sur la diagonale principale et de « 0 » partout ailleurs (d’où son nom). Ainsi, on a : N =           1 0 ... 0 1 1 1 ... . . . . . . 1 0 ... 0 . . . . . . . . . ... 1 . . . 1 0 ... 0 1           1. Déterminer l’image de f puis son noyau. 2. Déterminer le rang de N −In où In désigne la matrice unité d’ordre n. 3. Déduire de ce qui précède deux valeurs propres de f ainsi que des bases de leurs sous espaces propres associés. 4. Calculer l’image par f du vecteur u = (1, 2, 2, ..., 2, 1). 5. En déduire que N est diagonalisable. Déterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que D = P −1NP. 6. Écrire les matrices D, N, P dans le cas où n = 4. Calculer P −1 puis Nk où k est un entier naturel non nul. Exercice 4 Dans une population donnée, on note p la proportion d’individus atteints par un certain virus. Sa présence éventuelle n’est rendue visible par aucun symptôme ; pour savoir si un individu est atteint, il faut donc lui faire subir un test. Ce test possède les caractéristiques suivantes : si l’individu est atteint, le test est positif dans 99% des cas et s’il est sain, le test est négatif dans 99% des cas. 1. Exprimer en fonction de p la probabilité qu’un individu choisi au hasard soit atteint par ce virus sachant que son test est positif. 2. Évaluer cette probabilité pour p = 2 1000 3. Que pensez-vous du résultat ? 2 Exercice 5 Soient m et n deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. On a disposé m boules numérotées de 1 à m dans une boîte et on invite n enfants à venir chacun à leur tour tirer une boule de la boîte et à la remettre en jeu après avoir noté son numéro. Le tirage de la boule est aléatoire. Un enfant qui tire une boule numérotée i gagne i points. Pour tout i ∈J1; mK, on note Xi la variable aléatoire égale au nombre d’enfants qui choisissent la boule numérotée i, et soit T le total des points obtenus. 1. Donner la loi de Xi ; préciser son espérance et sa variance. 2. On pose Y = X1 + X2. Que représente Y ? Préciser sa loi, son espérance et sa variance. 3. Les variables X1 et X2 sont-elles indépendantes ? 4. Exprimer T en fonction des Xi. Calculer l’espérance de T. 5. Pour tout k ∈J1; nK, on désigne par Nk le numéro de la boule choisie par le kieme enfant. Déterminer la loi de Nk, son espérance et sa variance. 6. Exprimer T en fonction des Nk. Calculer l’espérance et la variance de T. 3 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE ENSAE – DAKAR INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2020 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS voie B Option Économie ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l’épreuve : 3 heures) Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants. Le travail divise-t-il les humains ? « Quand les femmes sont éduquées, leurs pays deviennent plus forts et plus prospères » indiquait Michelle OBAMA lors d’un voyage en Afrique en 2013. Développez cette citation. De nombreux États africains souhaitent développer le secteur du tourisme. Quels sont les avantages et les difficultés qu’implique cette démarche ? Sujet n° 1 Sujet n° 2 Sujet n° 3 1 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE ENSAE – DAKAR INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2020 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS voie B Option Économie ÉCONOMIE (Durée de l’épreuve : 4 heures) Les candidats traiteront au choix l’un des deux sujets suivants. Sujet n°1 : Dissertation Quels sont les enjeux, pour les économies d’Afrique sub-saharienne, du réchauffement climatique ? Sujet n°2 : Exercices et questions Macroéconomie (7 points) : Les comportements macroéconomiques au sein des deux grands secteurs institutionnels d’une économie peuvent être formalisés de la manière suivante : Les entreprises investissent pour un montant Io = 2 300 Les ménages consomment selon l’équation : C = 0.7Y +2 500 1- Calculez le revenu d’équilibre de cette économie. Sachant que le revenu de plein-emploi est égal à 19 200, dans quelle situation se trouve aujourd’hui l’économie considérée ? 2 2- Calculez quelle devrait être la valeur de la propension marginale à consommer des ménages pour que le revenu d’équilibre soit égal au revenu de plein emploi. Soient X= 3 340, les exportations du pays et M = 0.18Y+100, ses importations. 3- Que représente le paramètre 0.18 ? Quelle analyse économique peut-on en déduire ? 4- Déterminez puis calculez le nouveau revenu d’équilibre de l’économie. 5- Calculez le solde commercial de cette économie. Quel devrait être le revenu national pour que le solde commercial soit équilibré ? On suppose désormais que l’État intervient dans l’économie. Les comportements de ce secteur institutionnel sont formalisés par : Impôts et taxes : T = 0.2Y + 1 000 Dépense publique : G = 1 500 6- Déterminez puis calculez le nouveau revenu d’équilibre de l’économie. 7- On suppose une augmentation de 10% des dépenses publiques. En déduire la valeur du multiplicateur des dépenses publiques financées par l’emprunt. Les exportations du pays considéré dépendent à présent de la demande du reste du monde (Y*) avec : X = 0.9 Y* + 1 000 et Y* = 2 600 Suite à une crise financière, les pays du reste du monde voient leur revenu baisser de 15%. 8- On raisonne désormais à partir de l’équilibre initial de la question 6. Quelles sont les conséquences, pour l’économie nationale, de cette diminution de la demande externe ? Microéconomie (7 points) : Exercice 1 : Soit l’entreprise Kanté dont la contrainte technologique est définie par la fonction : Q(K,L) = 2.(K1/2 + L1/2) Avec Q : la quantité produite K et L : les quantités utilisées de capital et de travail, respectivement. On note w et r les prix en dollars d’une unité de travail et d’une unité de capital respectivement. 3 1- Analysez cette fonction de production : rendements d’échelle, productivités marginales, élasticité de la production par rapport aux quantités de facteurs. 2- Déterminez l’expression du taux marginal de substitution technique du capital au travail. 3- Le producteur dispose uploads/Finance/ sujets-d-x27-examen-ensea-its-eco.pdf