Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 SP2 - Exercice corrigé : la fibre optique SP

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 SP2 - Exercice corrigé : la fibre optique SP2 - Exercice corrigé : la fibre optique 1 La fibre optique à saut d’indice Pour guider la lumière dans une direction donnée, on réalise des fibres optiques, longs fils cylindriques dont l’indice diminue quand on s’éloigne de l’axe. La lumière suit la di- rection moyenne de l’axe grâce au phénomène de réflexion totale, à condition que le faisceau incident ait une ouverture angulaire convenable. Dans le modèle qui suit, on considère que la fibre est constituée d’un coeur cylindrique de rayon a, d’indice n1 = 1, 510 et d’une gaine de rayon extérieur b, d’indice n2 = 1, 495. Figure 1 – Vue en coupe d’une fibre à saut d’indice 1. Un rayon incident se propage dans l’air dans un plan axial de la fibre et arrive en I, à une distance OI < a de l’axe, sur une extrémité de la fibre, sous un angle d’incidence i0. On note i1 l’angle que fait le rayon avec la normale séparant la gaine du coeur. Déterminer la condition sur i1 tel qu’il y a guidage dans la fibre. 2. Exprimer la relation entre i0 et i1. 3. En déduire la condition sur i0, de la forme i0 < im, permettant le confinement du rayon dans la fibre. 4. On appelle ouverture numérique O.N. la quantité sin(im). Exprimer O.N. en fonction de n1 et n2. 5. Supposons que l’on envoie dans la fibre une impul- sion lumineuse sous la forme d’un faisceau conique convergent, de demi-angle au sommet is < im. Calcu- ler le temps t0 mis pour parcourir une distance L pour un rayon d’angle i0 = 0, puis le temps t1 pour un rayon d’angle is. Que constate-t’on ? 6. Evaluer ∆t = t1 −t0 pour L = 10 m, is = 8◦ et c = 3 × 108 m.s−1 . 2 Atténuation du signal L’atténuation de la lumière dans les fibres optiques est due à l’absorption et à la diffusion par le matériau constitu- tif du coeur, en général en silice et par ses impuretés (fer, cuivre,..). On la mesure couramment en décibel par kilo- mètre : AdB/km = 10 log(Φentrant Φsortant ) où Φ désigne le flux lu- mineux. Cette atténuation dépend de la longueur d’onde de la lumière envoyée dans la fibre. 1. Pour de la lumière rouge λ = 800 nm, A = 1, 2 dB/km. Au bout de combien de kilomètres restera-t’il 10% du flux incident ? 2. Même question dans l’infrarouge à 1300 nm où A = 0, 4 dB/km et à 1550 nm où A = 0, 25 dB/km ? En pratique, les lasers employés dans les télécommuni- cations sont conçus pour émettre autour de 1550 nm, à votre avis pourquoi ? 3 Problème de courbure Considérons maintenant que la fibre se courbe, et pour simplifier supposons qu’elle décrive un arc de cercle de rayon de courbure r = 200 mm. Figure 2 – Fibre optique courbée 1. Pour un rayon pénétrant dans la fibre perpendiculaire- ment à sa section, à la limite du bord inférieur, calculer l’angle que fait le rayon avec la normale lorsqu’il ren- contre l’interface gaine/coeur. Y’a-t’il réflexion totale, si a = 1 mm ? 2. A quelle condition sur le rayon de courbure cette condi- tion de réflexion totale n’est plus respectée ? 3. Citer des applications courantes de la fibre optique. 1 E. Van Brackel Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 SP2 - Exercice corrigé : la fibre optique Correction 1 La fibre optique à saut d’indice 1. D’après les lois de Descartes au point I1, il y a ré- flexion totale si sin(i1) > n2 n1 comme n2 < n1. Numé- riquement, i1 > arcsin n2 n1  = 81, 9◦. 2. Dans le triangle II1I2, on a la relation i1 + r0 + π 2 = π, soit r = π 2 −i1, et en ap- pliquant la relation de Descartes en I sin(i0) = n1 sin(r) = n1 sin(π 2 −i1) = n1 cos(i1). Donc sin(i0) = n1 cos(i1) 3. Avec la relation cos2(α) + sin2(α) = 1, sin(i0) = n1 p 1 −sin2(i1) < n1 s 1 − n2 n1 2 . Donc sin(i0) < q n2 1 −n2 2 4. Trivialement l’ouverture numérique vaut ON = q n2 1 −n2 2 = 0, 212 5. Le rayon lumineux arrivant avec un angle i0 = 0 par- court une distance L, et met donc un temps t0 = L v = n1L c Dans le second cas, la longueur à parcourir est plus grande : pour une longueur L selon z, le rayon parcourt une distance L cos(rs) avec sin(is) = n1 sin(rs). Donc t1 = n1L c s 1 − sin(is) n1 2 On constate alors que le temps de parcours est plus long ! 6. Finalement ∆t = n1L c   s 1 − sin(is) n1 2 −1   soit numériquement ∆t = 2, 15 × 10−10 s Plusieurs remarques : • d’une part cela signifie que le débit d’informa- tions est limité, car si on envoie deux impulsions pendant un temps inférieur à ∆t, elles vont se chevaucher après propagation • les technologies de fibres actuelles sont conçues de telle sorte à compenser un maximum cette dif- férence de temps de parcours. L’idée est alors de faire varier continûment l’indice optique du coeur de telle sorte qu’il décroisse en s’éloignant du centre. Ainsi la vitesse de propagation c n croît, ce qui permet de compenser partiellement la plus grande longueur de trajet. 2 Atténuation du signal 1. On cherche la distance à laquelle Φentrant Φsortant = 10. Avec A = 10 log(10) = 1, 2 dB/km, L = 10 log(10) 1, 2 = 8, 3 km 2. On fait de même pour les autres longueurs d’onde : L1300 nm = 25 km et L1550 nm = 40 km. On constate ainsi l’intérêt de choisir une longueur d’onde adaptée pour diminuer les pertes : le choix de 1550 nm est le plus adapté, car il correspond à une atténuation mi- nimale. On comprend aisément le dilemme quand on sait qu’il y a au fond de l’océan atlantique une très grande ligne constituée de fibres optiques permettant une liaison intercontinentale très rapide. 3 Problème de courbure 1. Avec cos(α) = r −a r , β = π 2 −α = π 2 −arccos r −a r  , l’application numérique donne β = 84, 3◦ Comme arcsin n2 n1  = 81, 9◦, il y a bien réflexion to- tale et le faisceau est bien confiné. 2. A la limite de réflexion totale, β = arcsin n2 n1  = π 2 −arccos r −a r  ⇒r −a r = cos(π 2 −β), soit rmin = a 1 −sin(β) = a 1 −n2 n1 . Numériquement rmin = 101 mm Il faut donc un minimum précautionneux lorsqu’on em- ploie une fibre optique.. De plus, elle reste un peu fra- gile, rappelons qu’il s’agit de verre très fin ! 3. On peut citer, outre les télécommunications, quelques applications médicales comme l’endoscope permettant un examen non invasif à l’intérieur du corps humain (il est composé d’un grand nombre de fibres, certaines servant à éclairer, d’autres à récupérer la lu- mière émise par la cible éclairée) ; on peut également évoquer son utilité en tant que capteur (tempéra- ture, pression), voire en microscopie (on peut sonder à l’aide d’une fibre optique étirée dans sa longueur à des échelles micrométriques). 2 E. Van Brackel uploads/Geographie/ 02-la-fibre-optique.pdf

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Administrationrayon optique temps longueur d’indice
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