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Seconde, Lycée Masséna Th. G ġ La forme de la Terre Terre r Plan I Un peu d’His

Seconde, Lycée Masséna Th. G ġ La forme de la Terre Terre r Plan I Un peu d’Histoire... 1 Interprétation d’Anaxagore (500-428 av. J.C.) • Interprétation d’Ératosthène (276-194 av. J.C.) • Delambre et Méchain (XVIIIème siècle) II Comment se repérer sur la planète ? 4 Lignes imaginaires • Coordonnées géométriques • Mesurer des distances à la surface de la Terre œ Capacités exigibles Calculer la longueur du méridien terrestre par la méthode d’Ératosthène. Calculer une longueur par la méthode de triangulation utilisée par Delambre et Méchain. Calculer le rayon de la Terre à partir de la longueur du méridien. Calculer la longueur d’un arc de méridien et d’un arc de parallèle. Comparer, à l’aide d’un système d’information géographique, les longueurs de différents chemins reliant deux points à la surface de la Terre. ļ Documents Activité 1 Ƿ Exercices Ex. 1 p.000 Ex. 2 p.123 I Un peu d’Histoire... Tout commence par une observation historique de voyageurs égyptiens durant l’Antiquité. Ils constatent que : — Syène (aujourd’hui Assouan) et Alexandrie sont situés sur le même méridien (même axe pôle Nord/pôle Sud) ; — La distance entre Syène et Alexandrie est d’environ 788 km ; — Au solstice d’été (∼21 juin), le Soleil est à la verticale à Syène (car aucune ombre n’est observée) mais à Alexandrie les rayons du Soleil sont quant à eux inclinés de 7.2◦par rapport à la verticale. Plusieurs interprétations sont alors proposées au fil de l’Histoire afin de justifier ces observations. A) Interprétation d’Anaxagore (500-428 av. J.C.) Anaxagore pensait que la Terre était plate. En se basant sur cette hypothèse, il propose un calcul estimant la distance entre la Terre et le Soleil à partir des observations des voyageurs égyptiens. Bâton planté à Syène Bâton planté à Alexandrie 788 km Terre Rayon Figure 1 – Situation proposée par Anaxagore Anaxagore de Clazomènes, peinture murale Source : wikipedia.org 27 juin 2020, https://www.ensciences.fr 1/5 Seconde, Lycée Masséna Th. G Ce modèle semble donc bien expliquer le fait que l’on observer une ombre à Alexandrie et pas à Syène. Cependant, ce modèle n’arrive pas à expliquer d’autres phénomènes tels que la variabilité du jour et de la nuit au fil de l’année ou même la disparition sous l’horizon des bateaux qui s’éloignent en mer. B) Interprétation d’Ératosthène (276-194 av. J.C.) Ératosthène reprend lui aussi les observations des voyageurs égyptiens et pose plusieurs hypothèses : — La Terre est une sphère ; — Les rayons envoyés par le Soleil arrivent sur la Terre parallèles entre eux. Il y s’appuie sur le principe mathématique des angles alternes-internes : Propriété 1 : Angles alternes-internes Si deux droites parallèles (AB et EF) sont coupées par une sécante (AC), alors elles forment des angles alternes-internes de même mesure (α). Ainsi, l’angle que fait le rayon AC par rapport à la normale EF est identique à l’angle \ BAC. Portrait d’Ératosthène Source : wikipedia.org Il entreprend alors de mesurer la circonférence de la Terre et modélise alors la situation de la manière suivante (voir Figure 2). Puit creusé à Syène Bâton planté à Alexandrie 788 km Rayon C Figure 2 – Modèle géométrique de la proposition d’Ératosthène Cette modélisation permet à Ératosthène de proposer une première estimation de la longueur d’un méridien. L’arc de cercle formé entre Syène et Alexandrie mesure 788 km de long et correspond à un angle α = 7.2◦. En effectuant un produit en croix, il obtient : 788 km 7.2◦ × 360◦= 39400 km (1) Document 1 : Une anecdote à propos d’Ératosthène u Vidéo : Eratosthène - Un bâton et un chameau pour mesurer la Terre - LPPV.01 Bruce Benamran (e-penser) présente comment Eratosthène a mesuré la circonférence de la Terre uniquement avec un bâton et un chameau, et ne se trompera pour ainsi dire pas (1,2 %). https://www.youtube.com/watch?v=dZyeKmytFeA 27 juin 2020, https://www.ensciences.fr 2/5 Seconde, Lycée Masséna Th. G C) Delambre et Méchain (XVIIIème siècle) A C D F E B R N M Figure 3 – Méthode de triangulation Après la Révolution, Delambre et Méchain aﬀinent la mesure d’Ératosthène et mesurent par la méthode de triangulation la longueur du méridien terrestre. Cette méthode consiste à créer autant de triangles que nécessaires pour relier deux points. Cette méthode s’appuie sur la loi des sinus : Propriété 2 : Loi des sinus A B C c a b a sin α = b sin β = c sin γ (2) Méthode 1 : Mesure de la distance AB — Dans chaque triangle, on mesure la longueur du côté qui sert de base et les deux angles qui s’appuient dessus. Par exemple dans le triangle ACM, on mesure la longueur du côté AC et les angles \ MAC et \ ACM. — À l’aide de la loi des sinus et en s’appuyant sur le fait que la somme des angles d’un triangle vaut 180◦C, on calcule la longueur du côté AM et du côté CD (qui nous servira de nouvelle base). A C D M N — Pour la mesure du segment AM, on mesure l’angle c M t.q. : c M = 180 −b A −b C (3) La loi des sinus permet de calculer la longueur AM : AM = AC × sin( b C) sin( c M) (4) — De la même façon, on calcule le segment CD : CD = AC × sin( b A) sin( b D) (5) 27 juin 2020, https://www.ensciences.fr 3/5 Seconde, Lycée Masséna Th. G II Comment se repérer sur la planète ? A) Lignes imaginaires Afin de se repérer, l’Homme a tracé des lignes imaginaires sur la sphère terrestre. Il en existe deux sortes : Définition 1 : Parallèles et méridiens Les parallèles (en rouge) qui sont des cercles parallèle à l’équateur ; Les méridiens (en vert) qui sont des demi- cercles joignant les deux pôles. On a aussi choisit des lignes imaginaires de référence : — L’équateur : parallèle se situant à mi-chemin entre les pôles ; — Le méridien de Greenwich : méridien passant par la ville de Greenwich (Royaume- Uni). Équateur Méridien de Greenwich Figure 4 – Parallèles et méridiens B) Coordonnées géométriques Un point M à la surface de la Terre possède trois coordonnées géographiques : — la longitude (notée λ) : angle entre le méridien de Greenwich et le méridien du point M qui varie entre 0◦ et 180◦; — La latitude (notée φ) : angle entre l’équateur et le parallèle au point M qui varie entre 0◦et 90◦; — L’altitude. O Équateur Méridien de Greenwich M Figure 5 – Latitude et longitude d’un point à la surface de la Terre C) Mesurer des distances à la surface de la Terre Définition 2 : Grand cercle Un grand cercle est un cercle sur la sphère terrestre ayant le même centre qu’elle (par exemple l’équateur). Le plus court chemin à la surface de la Terre est l’arc du grand cercle qui les relie. 27 juin 2020, https://www.ensciences.fr 4/5 Seconde, Lycée Masséna Th. G Grâce à la méthode de la triangulation, et en mesurant la distance (1111,11 km) entre Dunkerque (latitude 51◦ Nord) et Barcelone (latitude 41◦Nord), il a été possible de mesurer la longueur d’un méridien terrestre : Longueur du méridien = 360 × 1111, 11 51 −41 = 40000 km Mesure d’un arc de méridien : O Figure 6 – Mesure d’un arc de méridien En connaissant la longueur d’un méridien, on peut calculer la longueur d’un arc de méridien par un simple produit en croix en connaissant la différence de longitude ∆φ = φ2 −φ1 : l = ∆φ 360◦× 40000 (6) Mesure d’un arc de parallèle : O Figure 7 – Mesure d’un arc de parallèle Il est aussi possible de la longueur d’un arc de parallèle (ici c’est un peu plus complexe car chaque latitude n’a pas la même longueur...) : L = ∆λ 360◦× 40000 × cos(φ) (7) 27 juin 2020, https://www.ensciences.fr 5/5 uploads/Geographie/ 08-forme-terre-cours-web.pdf