Département de Mathématiques et Informatique Abdelhamid El Mossadeq Professeur

Département de Mathématiques et Informatique Abdelhamid El Mossadeq Professeur à l’EHTP © A. El Mossadeq Mai 2008 TABLE DES MATIÈRES 1. La loi de Bernouilli 1 2. La loi binomiale 1 3. La loi géométrique 2 4. La loi binomiale négative 3 5. La loi multinomiale 4 6. La loi hypergéométrique 5 7. La loi polyhypergéométrique 5 8. La loi de Poisson 6 9. La loi uniforme 6 8. La loi exponentielle 7 9. La loi normale 8 10. La loi du Khi‐deux 9 11. La loi de Student 11 12. La loi de Fisher‐Snedecor 13 13. Les lois de M et S² 14 14. Exercices 15 Lois Usuelles A. El Mossadeq 1. La Loi de Bernouilli Soient ( ; T ;P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire dé…nie sur cet espace. X est une variable aléatoire de Bernouilli de paramètre p, 0  p  1 si elle prend les valeurs 0 et 1 avec les probabilités 1 p et p respectivement : 8 < : P [X = 0] = 1 p P [X = 1] = p L’espérance mathématique et la variance de X sont données par : 8 < : E [X] = p V [X] = p (1 p) Les fonctions caractéristique et génératrice sont dé…nies par : 8 < :  (t) = p + (1 p) exp it ; t 2 R G (z) = p + (1 p) z ; z 2 C 2. La Loi Binomiale Soit ( ; T ;P) un espace probabilisé. Supposons qu’on s’intéresse au nombre de réalisations d’un événement A de T lorsqu’on fait n épreuves indépendantes de l’expérience aléatoire décrite par ( ; T ;P). Notons Zn la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de A en n épreuves indépendantes. 1 A. El Mossadeq Lois Usuelles Zn est la somme de n variables indépendantes de Bernouilli de même paramètre p, où : p = P [A] Pour tout k, 0  k  n, on a : P [Zn = k] = C(n; k)pk (1 p)nk La loi de Zn, que l’on note B (n; p), est appelée la loi binomiale d’ordre n et de paramètre p. L’espérance mathématique et la variance de Zn sont données par : 8 < : E [Zn] = np V [Zn] = np(1 p) Les fonctions caractéristique et génératrice de cette variable sont dé…nies par : 8 < : n (t) = [p + (1 p) exp it]n ; t 2 R Gn (z) = [p + (1 p) z]n ; z 2 C Remarque 1 Une variable aléatoire binomiale d’ordre n et de paramètre p est la somme de n variables aléatoires indépendantes de Bernouilli de même paramètre p: 3. La Loi Géométrique Soit A un événement d’un espace probabilisé ( ; T ;P) : Soit Y la variable aléatoire égale au nombre d’épreuves nécessaires pour la réal- isation de l’événement A, les épreuves étant indépendantes. 2 Lois Usuelles A. El Mossadeq Pour tout k, k 2 N, on a : P [Y = k] = p (1 p)k1 où : p = P [A] L’espérance mathématique et la variance de Y sont données par : 8 > > > < > > > : E [Y ] = 1 p V [Y ] = 1 p p2 Les fonctions caractéristique et génératrice sont dé…nies par : 8 > > > < > > > : Y (t) = p exp it 1 (1 p) exp it ; t 2 R GY (z) = pz 1 (1 p) z ; z 2 C 4. La Loi Binomiale Négative Soit A un événement d’un espace probabilisé ( ; T ;P). Soit Yr une variable aléatoire dé…nie sur cet espace telle que [Yr = r + k] , k 2 N, désigne l’événement : "A se réalise pour la r eme fois à la (r + k) eme épreuve" les épreuves étant indépendantes. Pour tout k, k 2 N, on a : P [Yr = r + k] = C(r + k 1; k)pr (1 p)k 3 A. El Mossadeq Lois Usuelles La loi de Yr, est appelée la loi binomiale négative d’ordre r et de paramètre p. L’espérance mathématique et la variance de Yr sont données par : 8 > > > < > > > : E [Yr] = r p V [Yr] = r (1 p) p2 Les fonctions caractéristique et génératrice sont dé…nies par : 8 > > > > < > > > > : Yr (t) =  p exp it 1 (1 p) exp it r ; t 2 R GYr (z) =  pz 1 (1 p) z r ; z 2 C 5. La Loi Multinomiale On fait n épreuves indépendantes chacune pouvant donner les résultats A1; :::; Ar avec les probabilités p1; :::; pr, p1 + ::: + pr = 1. Notons Zi n, 1  i  r, la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de Ai en n épreuves indépendantes. Zi n est une variable binomiale d’ordre n et de paramètre pi. La distribution, dite multinomiale ou polynomiale de degré n, de Z1 n; :::; Zr n  est donnée pour tous k1; :::; kr dans f0; :::; ng telles que k1 + ::: + kr = n, par : P[Z1 n = k1; ::; :Zr n = kr] = n! k1! ::: kr!pk1 1 ::: pkr r 4 Lois Usuelles A. El Mossadeq On a : 8 > > > > < > > > > : E  Zi n  = npi V  Zi n  = npi(1 pi) Cov  Zi n; Zj n  = npipj 6. La Loi Hypergéométrique D’une urne contenant M boules rouges et N M boules blanches, on tire au hasard n boules sans remise, n  N. Notons Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges parmi les n boules tirées. Pour tout k, 0  k  inf (M; n), on a : P [Xn = k] = C(M; k)C(N M; n k) C(N; n) On a : E [Xn] = nM N V [Xn] = nM(N M)(N n) (N 1)N 2 7. La Loi Polyhypergéométrique On suppose que l’urne contient N1 boules de la couleur 1, ... , Nr boules de la couleur r, N1 + :::+ Nr = N. On tire de l’urne n boules sans remise. Notons Xi n , 1  i  r, la variable aléatoire égale au nombre de boules de la couleur i parmi les n boules tirées. 5 A. El Mossadeq Lois Usuelles Pour tout k1, ..., kr tels que k1 + :::+ kr = n, 0  ki  inf (Ni; n), on a : P  X1 n = k1; :::; Xr n = kr  = C(N1; k1):::C(Nr; kr) C(N; n) 8. La Loi de Poisson Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre ,  > 0, si elle prend des valeurs entières positives ou nulle avec les probabilités : P [X = k] = k k! exp  ; k 2 N On la note : P (). L’espérance mathématique et la variance de X sont données par : 8 < : E [X] =  V [X] =  Les fonctions caractéristique et génératrice sont dé…nies par : 8 < :  (t) = exp [ (exp it 1)] ; t 2 R G (z) = exp [ (z 1)] ; z 2 C 9. La Loi Uniforme On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [a; b] si elle admet comme densité la fonction dé…nie par : f (x) = 8 > > < > > : 1 b a si x 2 [a; b] 0 si x = 2 [a; b] ; 6 Lois Usuelles A. El Mossadeq Sa fonction de répartition est donnée par : F (x) = 8 > > > > > > < > > > > > > : 0 si x  a x a b a si a  x  b 1 si x  b L’espérance mathématique et la variance de X sont données par : 8 > > > < > > > : E [X] = a + b 2 V [X] = (a b)2 12 Sa fonction caractéristique est dé…nie pour tout t 2 R par :  (t) = exp (ibt) exp (iat) i (b a) t 10. La Loi Exponentielle On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre ,  > 0, si elle admet comme densité la fonction : f (x) = 8 < :  exp x si x > 0 0 six  0 sa fonction de répartition est dé…nie uploads/Geographie/ 2f3906da4622e725a807ece1813149b4.pdf

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