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Note du groupe Baccalauréat : Cet exercice est sans doute trop long en tant qu'

Note du groupe Baccalauréat : Cet exercice est sans doute trop long en tant qu'exercice de baccalauréat ; on peut facilement, en fonction des objectifs recherchés, supprimer une partie. Le but de cet exercice est de vérifier l'exactitude des affirmations de l'article et d'utiliser les relations mentionnées pour déterminer la masse de certains corps célestes. Vous pouvez vous servir du texte et des données pour répondre aux questions posées. Voici un texte tiré d'un article paru dans une revue scientifique en 1995 sous le titre : "L'UNIVERS DANS LA BALANCE" On sait que l'étude du mouvement de chute d'un objet de masse m, soumis à l'attraction gravitationnelle d'un astre de masse M, permet de déterminer cette masse M, si l'on a au préalable déterminé la valeur de la constante de gravitation universelle G. Mais, en dehors de notre planète, l'expérience n'est guère réalisable ! Heureusement, un exemple de chute est fourni par un satellite ; s'il ne tombe pas, c'est parce que la vitesse initiale, qui lui a été communiquée perpendiculairement à la verticale, le tient éloigné de la planète qui l'attire. Son mouvement suit la troisième loi de Kepler qui indique que : T2/a3 = Cte. La Cte fait intervenir le facteur (M + m), mais si M est très grand devant m, on peut ne prendre en compte que M. Ainsi, la mesure de a et de T permet de déterminer M. On a réalisé une véritable balance cosmique ! DONNÉES : * constante de gravitation universelle : G = 6,67 . 10-11 N.m2.kg-1 * intensité de la pesanteur à la surface de la Terre : g0 = 9,81 m.s-2 * rayon terrestre : R = 6,37 . 106 m rayon de l'orbite (considérée comme circulaire) période de révolution Jupiter ( / Soleil) rJ = 7,78 . 1011 m TJ = 3,74 . 108 s Io ( / Jupiter) rIo = 4,22 . 108 m TIo = 1,53 . 105 s Lune ( / Terre) rL = 3,84 . 108 m TL = 2,36 . 106 s note : Io est un satellite de Jupiter I. Etude préliminaire. (Ces relations seront utilisées dans la suite de l'exercice). 1. La force gravitationnelle qu'un astre de masse M à symétrie sphérique exerce sur un corps de masse m également à symétrie sphérique a une intensité : f G. M.m r = 2 a) Que représente r ? b) L'astre de masse M est-il soumis à une force ? Si oui, indiquer ses caractéristiques. Dans la suite de l'exercice, tous les corps étudiés auront la symétrie sphérique et pourront être assimilés à des objets ponctuels. Le but de cette question est double : 1. Donner l'expression de f qui est indispensable pour la suite. 2. Tester la possession des connaissances suivantes : - signification des paramètres utiles, ici il s'agit de r ; - connaissance du principe de l'action et de la réaction. On donne l'expression de f, car il est vraisemblable qu'elle se trouve dans toute "bonne" calculatrice... Par contre, il est important de tester l'acquisition des deux connaissances citées. Ainsi, la non connaissance, improbable, de cette formule n'est pas un obstacle pour la suite de l'exercice. 2. Déduire de ce qui précède une expression de l'intensité du champ de pesanteur à la surface de la Terre. Cette question a pour but d'aider à la résolution de la question II. Ainsi, la résolution de cette question ne demande plus, comme activité principale, que d'aller chercher l'information dans le texte. On diminue le nombre d'étapes à réaliser pour résoudre la question II. 3. a) Dans le cas d'un mouvement de rotation circulaire, de rayon r, d'un satellite de masse m, soumis à l'attraction gravitationnelle d'un astre de masse M (M >> m), montrer que la vitesse V reste constante. Cette vitesse a la valeur : V G. M r = . b) Dans l'hypothèse où la masse du satellite est différente de m, par exemple, m' = 3m, indiquer, en le justifiant, si la vitesse est modifiée ou non. Comme dans la question I., cette question a un double but : - tester la connaissance des expressions de l'accélération et des savoir-faire concernant l'application du principe fondamental ; - donner la valeur de V (avec les mêmes remarques qu'en 1.). 4. Dans les hypothèses de la question précédente, trajectoire circulaire et M très grand devant m, montrer que la loi de Kepler est bien vérifiée et donner l'expression de la constante à laquelle il est fait allusion dans le texte. Cette question a pour but : - comme précédemment, d'aider à la résolution des questions ultérieures (ici la III.) en diminuant le nombre d'étapes à mettre en place ; - de préciser les indications du texte qui indique que le facteur M intervient seul si M >>m. II. Détermination de la masse de la Terre. La première phrase du texte indique un moyen pour déterminer la masse de la Terre. Proposer une expérience réalisable au laboratoire : - faire une description succincte du matériel nécessaire ; - indiquer le mode opératoire, en précisant les mesures à effectuer ; - calculer la valeur de la masse MT de la Terre à partir de ces mesures (on pourra utiliser les valeurs numériques fournies dans les données). Cette question cherche à tester la possession des capacités : - lecture d'une information dans le texte ; - connaissance des lois du mouvement de chute libre et du protocole expérimental pour déterminer l'accélération ; - calcul simple. III. Détermination de la masse du Soleil et de Jupiter. 1. Donner les expressions de la masse du Soleil et de Jupiter et calculer leurs valeurs. Cette question cherche à tester la possession des capacités : - de lecture d'une série d'informations dans le texte ; - de mise au point d'une démarche : remarquer le double rôle qu'on fait jouer à Jupiter : - satellite du Soleil - centre attracteur pour Io - de faire un calcul simple. 2. Montrer, a posteriori, que l'hypothèse M >> m est bien vérifiée pour l'un des calculs effectués. On teste, ici, la capacité à avoir un regard critique sur la démarche effectuée et à distinguer les deux cas. IV. Détermination de la masse de la Lune. 1. En utilisant les indications du texte et en sachant que la Lune est un astre dont la masse n'est pas négligeable devant celle de la Terre, donner la bonne expression de la loi de Kepler. Il s'agit, ici, d'une simple lecture du texte. 2. En déduire une valeur approchée de la masse ML de notre satellite naturel (la méthode proposée ici, compte tenu de la précision des données, ne donne pas un résultat précis). Calcul simple. RECOMMANDATIONS DE CORRECTION Réponse attendue Barème Commentaires I. Etude préliminaire 1. a) La distance entre les deux centres. b) Oui, elle a même valeur, mais elle est de sens opposé, d'après le principe de l'action et de la réaction. 2. A la surface de la Terre, on a : P m g G M m R g G M R = = ⇒ = . . . . 0 2 0 2 3. a) La force est centripète, il en est de même de l'accélération ; l'accélération tangentielle est donc nulle et la norme du vecteur vitesse est constante. b) La masse qui figure dans l'expression de la force gravitationnelle et dans le produit m. A → ( A → : vecteur accélération), s'élimine et n'intervient pas dans l'expression de la vitesse. La vitesse est donc la même pour les deux satellites. 4. On a : 2pr = VT , soit : T r 4 G.M C 2 3 2 la constante = = ⇒ π π 4 2 G M . II. Détermination de MT On peut, par exemple, étudier la chute libre d'un objet à la surface de la Terre et mesurer l'accélération de la pesanteur. Pour minimiser les frottements dus à l'air, il faut prendre un objet dense et mesurer de façon précise sa position en fonction du temps par chronophotographie ou bien en utilisant des capteurs optiques. Des mesures de position, on déduit la vitesse et l'accélération. Comme g G.M R 0 T = 2 , on en déduit : M g . R G T 0 24 5,97.10 kg = = 2 III. Détermination de MS et MJ 1. On prend Jupiter comme satellite pour déterminer MS : M r G T S J J kg = = 4 1 10 2 3 2 30 π . . ,99 . On prend Io comme satellite de Jupiter pour déterminer MJ : M 4 .r G.T J Io Io 27 1,90 .10 kg = = π 2 3 2 2. On trouve bien MS >> MJ mais on ne connaît pas la masse de Io. L'hypothèse est donc bien vérifiée pour le premier calcul, mais on ne peut rien dire pour le second. IV. Détermination de ML 1. On a : T r G M M C G M M 2 3 2 T uploads/Geographie/ 6-kepler.pdf