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CHAPITRE 1 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE 1.1. Applications ensemblistes Cette section a a

CHAPITRE 1 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE 1.1. Applications ensemblistes Cette section a aussi pour but de rappeler les notions algébriques élémentaires couramment utilisées en mathématique. 1.1.1. Le langage ensembliste. — Définition (Ensemble). — Un ensemble est une “collection” d’“objets”, appelés éléments. Exemples. — L’ensemble des étudiants en L2-MASS à Nice pendant l’année universitaire 2013- 2014, l’ensemble des pièces d’un porte-monnaie, l’ensemble des villes de France, l’ensemble des nombres entiers naturels {0, 1, 2, 3, . . .}. (Notez que les trois premiers exemples sont des ensembles avec un nombre fini d’éléments. Alors que le dernier comporte une infinité d’éléments.) En mathématique, on écrit un ensemble par des accolades {0, 1, 2, 3, . . .} avec dedans chaque élément séparé par une virgule. (L’ordre dans lequel les éléments apparaissent ne compte pas.) Graphiquement, on représente souvent un ensemble par un “patate” avec un point ou une croix pour ses éléments. Lucie Thomas François Chloé Notations. — On utilise les notations suivantes, qui se lisent en français comme indiqué. 12 CHAPITRE 1. ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE Notation Se lit Représentation a A a ∈ |{z} l’élément a ∈ |{z} appartient à A |{z} l’ensemble A a A a / A a ∈ |{z} l’élément a / ∈ |{z} n’appartient pas à A |{z} l’ensemble A a A A B A ⊂ |{z} l’ensemble A ⊂ |{z} est inclus dans B |{z} l’ensemble A A B A 6 B A ⊂ |{z} l’ensemble A 6⊂ |{z} n’est pas inclus dans B |{z} l’ensemble A A B Exemples. — # “La ville de Lyon est une ville française” s’écrit en mathématique : Lyon {villes de France} . ∈ # “Le nombre 9 n’est pas pair” s’écrit en mathématique : 9 { / nombres pairs} . ∈ # “L’ensemble des footballeurs fait partie de l’ensemble des sportifs” s’écrit en mathématique : {footballeurs} {sportifs} . ⊂ # “L’ensemble des nombres entiers relatifs {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} n’est pas inclus dans l’ensemble des nombres réels positifs” s’écrit en mathématique : {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} 6 {x R | x ≥ 0} . ⊂ ∈ Ces derniers symboles se lisent { |{z} l’ensemble des x R | {z } ∈ nombres réels x | |{z} tels que x ≥ 0 | {z } x soit positif } . Efficace, non ? Il existe un ensemble étonnant qui est obtenu en ne mettant rien dedans ! (Imaginez une boite ou un tiroir vide.) Définition (Ensemble vide). — L’ensemble vide est l’ensemble sans aucun élément. On le note { } ou . ∅ Exemple. — L’ensemble des footballeurs ayant quelque chose d’intelligent à dire. 1.1. APPLICATIONS ENSEMBLISTES 13 Opérations. — À partir de deux ensembles (ou plus), on peut en créer un nouveau grâce aux opérations suivantes. Ici, les ensembles B et C sont des sous-ensembles d’un ensemble A, c’est-àdire B A et C A. ⊂ ⊂ (1) Terminologie Notation Représentation Intersection B ∩ C := {a A | a B et a C} ∈ ∈ ∈ A B A B Union B C := {a A | a B ou a C} ∪ ∈ ∈ ∈ Différence B − C (ou B\C) := {b B | b / C} ∈ ∈ B C B-C Complémentaire Bc := A − B = {a A | a / B} ∈ ∈ A B Attention . — Le “ou” mathématique définissant l’union de deux ensembles n’est pas le “ou” du restaurant. En effet, au restaurant, on peut avoir du fromage ou du dessert, c’est-à-dire soit du fromage, soit du dessert, mais jamais les deux. En mathématique, nous sommes bien plus généreux : a peut soit appartenir à l’ensemble B, soit à l’ensemble C, soit au deux en même temps. Remarque #. — Le complémentaire d’un ensemble dépend de l’ensemble qui le contient. # Exercice 1 (Opérations ensemblistes I). — On considère les ensembles suivants A : l’ensemble des entiers relatifs pairs {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . .}, B : l’ensemble des entiers relatifs impairs {. . . , −5, −3, −1, 1, 3, 5, . . .}, C : l’ensemble des entiers naturels de 1 à 10, D : l’ensemble des nombres réels positifs. Décrire les ensembles C A, C B, C − B, A ∩ D, B D, A B et A ∩ B. ∪ ∪ ∪ ∪ (Ne pas hésiter à utiliser une représentation graphique, comme l’axe des réels, par exemple). 1. Le symbole “:=” n’est pas le signe égal habituel; il signifie “égal par définition”. On l’utilise donc lorsque l’on définit un objet nouveau. (Il traduit une dissymétrie : le membre de gauche est le nouvel objet que l’on cherche à définir, alors que le membre de droite est quelque chose qui existe déjà 14 CHAPITRE 1. ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE Exercice # 2 (Opérations ensemblistes II). — Soient A, B, C trois sous-ensembles d’un l’ensemble E. Démontrer les équalités présentes cidessous : 1. (A ∩ B) c = Ac Bc ∪ , 2. (A B) ∪ c = Ac ∩ Bc , 3. A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C). ∪ ∪ uploads/Geographie/ aa2.pdf