Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PRÉSENTÉ À L’UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À TROIS-RIVIÈRES

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PRÉSENTÉ À L’UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À TROIS-RIVIÈRES COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN PHYSIQUE PAR RAPHAËL GERVAIS LAVOIE OSCILLATEUR HARMONIQUE QUANTIQUE DANS UN ESPACE DE HILBERT BICOMPLEXE ET ALGÈBRE LINÉAIRE BICOMPLEXE SEPTEMBRE 2010 c ⃝Raphaël Gervais Lavoie, 2010 Résumé Ce mémoire présente mes travaux de maîtrise portant sur la mécanique quantique bicomplexe. Les nombres bicomplexes constituent l’une des généralisations possibles des nombres complexes et ceux-ci possèdent une structure algébrique d’anneau com- mutatif. Initialement, le projet de maîtrise était d’utiliser les nombres bicomplexes aﬁn de construire un espace analogue à l’espace de Hilbert en mécanique quantique standard. Cet espace de Hilbert bicomplexe, ainsi que les opérateurs agissant sur celui- ci, forment ce que l’on pourrait appeler une mécanique quantique bicomplexe, et l’idée était d’utiliser celle-ci aﬁn de résoudre ﬁnalement les problèmes de l’oscillateur harmo- nique ainsi que de l’atome d’hydrogène bicomplexe. Cependant, plusieurs diﬃcultés d’ordre mathématique se sont présentées en cours de route, dont la solution a per- mis d’écrire pas moins de deux articles sur l’algèbre linéaire ainsi que sur les espaces de Hilbert bicomplexes [1, 2], si bien que le problème de l’atome d’hydrogène fut abandonné. Ce mémoire, par articles, présente donc la solution algébrique du problème de l’oscillateur harmonique quantique dans un espace de Hilbert bicomplexe [3] ainsi que de nombreux résultats et outils mathématiques qu’il a été nécessaire de développer pour résoudre le problème. Raphaël Gervais Lavoie Louis Marchildon Abstract This thesis presents the work done during my master’s degree on bicomplex quan- tum mechanics. Bicomplex numbers are one of the possible generalizations of complex numbers and they possess the algebraic structure of a commutating ring. The initial goal of this master’s degree was to build a structure analogous to the Hilbert spaces in standard quantum mechanics, but standing on bicomplex numbers instead of complex ones. This bicomplex Hilbert space, and the operators acting on it, form what we can call a bicomplex quantum mechanics and we wanted to use it to solve the problems of the quantum harmonic oscillator and hydrogen atom. However, some mathematical diﬃculties arised on the way and forced us to abandon the hydrogen atom problem. The solution of these diﬃculties allowed us to write two papers on bicomplex Hilbert spaces and bicomplex linear algebra [1, 2]. This thesis, by articles, explores the algebraic solution to the harmonic oscillator problem in the framework of bicomplex quantum mechanics [3] as well as many results and mathematical tools that we developed during this investigation. Avant-propos Je tiens à remercier en premier lieu mon directeur de recherche, le professeur Louis Marchildon, pour son soutien, ses conseils plus que judicieux, sa conﬁance ainsi que d’avoir accepté de me diriger dans ce domaine. Je le remercie par dessus tout pour la rigueur scientiﬁque qu’il a su me transmettre tout au long de mes études. J’aimerais également remercier mon codirecteur, le professeur Dominic Rochon, pour m’avoir initié aux bicomplexes ainsi que pour la motivation qu’il a su me donner tout au long de cette maîtrise. Je tiens également à remercier le professeur Adel Antippa pour sa vision unique de la physique ainsi que tous les professeurs et membres du Département de Physique de l’UQTR pour l’ambiance chaleureuse qui y règne. D’un point de vue ﬁnancier, j’aimerais remercier le FQRNT du Québec pour l’oc- troi d’une bourse de maîtrise ainsi que le CRSNG du Canada pour une bourse d’été. Je remercie également la fondation de l’UQTR ainsi que le professeur Rochon qui, en m’oﬀrant un contrat d’embauche, m’a fait découvrir les nombres bicomplexes, qui sont le point central de ma maîtrise. Finalement, d’un point de vue personnel, je tiens à remercier mes amis, et surtout ma famille, pour le support et l’appui qu’ils m’ont fournis du début à la ﬁn de cette maîtrise. Un merci particulier à ma conjointe Audrey, pour la lecture attentive des diverses versions de ce document, mais surtout pour m’avoir soutenu lors des moments plus diﬃciles. À mes parents, mon frère et ma conjointe The path of discovery runs through series of inferences which are deeply veiled by the darkness of instinctive guessing[.] Hans Reichenbach [4, p. 67]. Table des matières Résumé ii Abstract iii Avant-propos iv Table des matières vi Table des ﬁgures viii 1 Introduction 1 1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Systèmes de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Structures des théories physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Choix du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Monopole des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Structure du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Nombres bicomplexes 6 2.1 Généralisation des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Liens avec la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Complexiﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Nombres bicomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.1 Nombres bicomplexes versus quaternions . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Modules bicomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 vii 2.4.1 Corps et anneaux algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.2 Espace vectoriel et module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Présentation des articles 17 3.1 Premier article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.1 Solution diﬀérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.2 Solution algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Deuxième article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Conclusion 68 Bibliographie 69 Table des ﬁgures 2.1 Généralisation des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chapitre 1 Introduction [. . .] even today the physicist more often has a kind of faith in the correctness of the new principles than a clear understanding of them. Werner Heisenberg [5, préface]. En physique, comme dans bien d’autres domaines, la recherche sur de nouveaux terrains est rarement faite sans raison, ou du moins sans intuition. C’est pourquoi, dans le présent chapitre, certaines des motivations ayant mené à ce mémoire seront exposées. La structure du mémoire sera également brièvement présentée. 1.1 Motivations Il est entendu que les motivations présentées dans cette section ne constituent en aucun cas une preuve justiﬁcative du mémoire, mais représentent plutôt les réﬂexions a priori ainsi qu’a posteriori de l’auteur face au présent sujet. Chapitre 1. Introduction 2 1.1.1 Systèmes de nombres Toute théorie physique est formulée à l’aide d’une algèbre, c’est-à-dire un ensemble de règles, incluant une ou plusieurs lois de composition, agissant sur les éléments d’un ensemble. Puisqu’il existe, en mathématiques, une myriade d’algèbres diﬀérentes s’ap- puyant sur une grande variété d’ensembles, toute théorie physique se doit, normale- ment, de bien spéciﬁer l’algèbre ainsi que l’ensemble (le plus souvent un système de nombres) utilisés pour la construction de ladite théorie. Bien que ce point puisse sembler évident, ou même insigniﬁant pour certains, la tâche n’en est pas moins ardue. En eﬀet, comme le souligne Penrose uploads/Geographie/ memoire-rgl.pdf