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L'enseignement des mathématiques en Allemagne Richard Cabassut richard.cabassut

L'enseignement des mathématiques en Allemagne Richard Cabassut richard.cabassut@unistra.fr L'Allemagne reste le premier partenaire politique et économique de la France. Il est donc intéressant d'observer son enseignement des mathématiques. Nous rappellerons d'abord le contexte institutionnel de cet enseignement, ce qui justifiera pourquoi nous nous limiterons à la région du Bade-Wurtemberg. Nous décrirons alors quelques éléments du programme de mathématiques des deux dernières années du lycée général. Nous proposerons un exemple de sujet pour le baccalauréat (Abitur). Nous conclurons en questionnant l'enseignement des mathématiques français à partir de ces expériences allemandes. 1 Un système éducatif varié régionalement L'Allemagne est un pays fédéral dans lequel les régions (Länder) ont souveraineté pour l'enseignement primaire et secondaire : l'organisation du système scolaire, le type d'école, la nature et l'organisation des examens, le contenu des programmes ou la formation des professeurs peuvent varier grandement d'une région à l'autre. Par exemple l'école primaire dure 4 ans dans la plupart des régions, mais 6 ans à Berlin et dans le Brandebourg. La majorité des régions oriente à la fin de l'école primaire principalement vers trois types d'école secondaire : la Hauptschule1, la Realschule ou le Gymnasium qui est le seul à préparer au baccalauréat (Abitur) qui permet l'accès à l'université2. Mais il existe des régions (dans l'ancienne Allemagne de l'Est ou encore la Sarre ou la Rhénanie-Palatinat) qui proposent en outre une école secondaire pour tous (la Gesamtschule), un peu l'analogue de notre collège unique. En 2007-2008, en Allemagne, après l'école primaire, 9,7 % des élèves fréquentaient une Hauptschule, 13,9 % une Realschule, 28,8 % un Gymnasium et 5,4% une Gesamtschule. Un dernier exemple : la Bavière conserve deux programmes de mathématiques (de base et approfondi) dans les deux dernières années avant le baccalauréat général (Abitur) tandis que le Bade-Wurtemberg n'a plus qu'un programme de mathématiques. Il existe cependant une commission interministérielle permanente des ministres de l'éducation de chaque région, la KMK (Kultusministerkonferenz) qui essaie de développer des réformes soutenues par toutes les régions. De très grands changements impulsés au niveau fédéral comme le raccourcissement d'un an de la scolarité secondaire, passant de 9 ans à 8 ans donc des coupes dans 1 A la fin de l’école primaire les élèves sont orientés vers différentes écoles secondaires à niveaux d’exigence croissants et à durées de cursus croissants. Le Gymnasium, de 10 ans à 18 ans, prépare à l’Abitur qui permet l’accès à l’université. En première approximation, on peut considérer que c’est l’équivalent de notre collège suivi du lycée général ou technique. La Hauptschule à l’opposé ne dure que 5 ans après l’école primaire. Elle donne une éducation générale moins approfondie qu’en Gymnasium. Les considérations y seront plus concrètes et plus pratiques, avec une initiation à la vie professionnelle. Souvent les élèves suivent après la Haupschule un enseignement professionnel en alternance (Duale Ausbildung). Il y a une classe passerelle (sixième année ) qui permet de rejoindre éventuellement les autres filières. La Realschule C est une école intermédiaire entre la Hauptschule et le Gymnasium. Elle dure six années. Les élèves reçoivent une éducation générale plus complète que la Hauptschule et peuvent suivre ensuite des écoles professionnelles spécialisées (Berufsfachschule). Il existe également des classe passerelles pour rejoindre le Gymnasium. Il existe actuellement une discussion sur la suppression des Hauptschule. En Bade-Wurtemberg on les remplacerait par des Werkrealschule. Nous ne rentrerons pas dans ce débat, compliqué par les approches très différentes d’un Land à l’autre. 2 La comparaison des accès à l’enseignement supérieur entre les deux pays est délicate. Notons l’existence d’autres examens professionnels qui permettent l’accès dans l’enseignement supérieur aux Fachhochschulen que l’on pourrait rapprocher des IUT ou BTS français. Il existe également des passerelles permettant le passage de la Realschule au Gymnasium. les contenus (l'école secondaire commence un an plus tôt qu'en France ). La Thuringe a une scolarité secondaire de 8 ans depuis 1949, alors que le Schleswig-Holstein sera une des dernières régions à terminer la mise en place de cette réforme en 2016. C'est pourquoi nous limiterons dans la suite notre comparaison à la seule région du Bade-Wurtemberg, voisine de la France, qui jouit avec la Bavière d'une des meilleures réputations en Allemagne au niveau de l'enseignement des mathématiques. 2 Programmes de mathématiques en Bade-Wurtemberg 2.1 des mathématiques pour tous avant le bac Nous nous intéresserons au programmes du Gymnasium du Bade-Wurtemberg, qui ont connu une réforme importante en 2002. Avant 2002, les deux dernières années du Gymnasium, il y avait deux programmes de mathématiques : un programme de base (Grundkurs) à raison de trois cours de 45 min par semaine, ou un programme approfondi (Leistungskurs) à raison de cinq cours de 45 min par semaine. Les lycéens choisissaient entre ces deux cours suivant la spécialisation de leur baccalauréat. La réforme de 2002 du Bade-Wurtemberg supprime cette distinction. On notera par exemple que la Bavière, la Rhénanie-Westphalie ou la Rhénanie-Palatinat conservent la distinction Grundkurs et Leistungskurs. Désormais en Bade-Wurtemberg il y a durant les deux dernières années du Gymnasium, un seul cours de mathématiques, à raison de 4 cours de 45 min par semaine : on considère donc que les mathématiques participent à la formation de base de tout bachelier jusqu'à l'entrée à l'université, contrairement à ce qui se passe en France pour la filière littéraire où les élèves préparant le baccalauréat peuvent être dispensés de cours de mathématiques. Les mathématiques ont une épreuve écrite obligatoire au baccalauréat. Le programme que nous allons étudier maintenant a été mis en place en classe 5 (10-11ans) et atteindra la classe 12 (17-18 ans) du baccalauréat en 2011. C’est le premier programme complet qui applique les deux grandes réformes structurelles : le raccourcissement d’un an de la scolarité secondaire et la fin de la distinction entre Grundkurs et Leistungskurs en mathématiques. 2.2 le programme de mathématiques de 2004 La KMK a également introduit neuf idées directrices en mathématiques pour structurer le programme en compétences mathématiques : nombre ; algorithme ; variable ; mesure ; espace et forme ; relation fonctionnelle ; données et hasard ; mise en réseau ; modélisation. Quatre compétences transversales sont également précisées : apprendre, justifier, résoudre un problème, communiquer. Dans le Bade-Wurtemberg, les deux dernières années avant le baccalauréat sont régies par un programme commun aux deux années. D’ailleurs c’est une nouveauté du programme de 2004, que de définir le programme par des textes couvrant, par quatre cycles de deux ans, les huit ans de Gymnasium (de la classe 5 à la classe 12). Ce programme s'énonce en termes de compétences mathématiques réparties suivant les idées directrices de la manière suivante. « Par rapports aux idées directrices les étudiants disposent des compétences suivantes: 1) Idée directrice "nombre" Comprendre et expliquer le concept de limite ; Utiliser un processus limite dans la détermination de nombres. Contenu : • Limite ; nombre d'Euler e ; intégrale. 2) idée directrice "algorithme" Déterminer les limites dans des cas simples ; dériver des fonctions composées; déterminer des primitives dans des cas simples; étudier la résolution de systèmes d'équations linéaires ; déterminer l'ensemble des solutions d'un système linéaire d'équations. Contenu : • règles de dérivation pour le produit et la composition ; • primitives (somme, facteur constant, substitution linéaire) • algorithme de Gauss 3) Idée directrice "mesurer" Appliquer le concept de reconstruction3 à divers domaines d'application; valeur à calculer à l'aide de la calculatrice graphique. Contenu • valeur reconstruite, aire d’une surface limitée par une frontière curviligne (y compris le disque), volume (y compris la pyramide, le cône). Valeur moyenne. 4) Idée directrice "espace et forme" Décrire vectoriellement ou analytiquement des objets géométriques dans l'espace et analyser leurs positions relatives ; décrire et déterminer les propriétés des objets géométriques et leurs relations. Contenus • plans, angle, distances. 5) Idée directrice "relation fonctionnelle" Décrire les dépendances discrètes ; propriétés particulières des fonctions à déterminer par le calcul et avec l'aide des calculatrices graphiques. Reconstruire une fonction à partir de son taux de variation. Contenu : • Suites, suites récurrentes, • dérivées d'ordre supérieur, détermination des extrema et des inflexions, fonction exponentielle naturelles ; fonctions composées, asymptotes verticales et asymptotes horizontales • fonction intégrale; théorème fondamental du calcul différentiel et intégral 6) Idée directrice "données et hasard" Déterminer les probabilités dans des expériences aléatoires avec un univers des possibles infini ; Estimer quantitativement des hypothèses au sujet d'événements aléatoires. Contenu • distribution continue, procédure de test. 7) Idée directrice "mise en réseau" Connaître et utiliser des méthodes heuristiques pour gagner en connaissance ; démontrer avec l'aide de vecteurs ; résoudre des problèmes nécessitant l'utilisation de termes et des méthodes de divers secteurs des mathématiques. Contenu : • liens entre différents secteurs d'analyse, de géométrie et de stochastique. 8) Idée directrice "modélisation" Modéliser mathématiquement à l'intérieur et à l'extérieur des mathématiques des faits et leur évolution également dans des contextes complexes. 3 Nous avons préféré conserver une traduction littérale des termes «das Konzept der Rekonstruktion ». Ce concept est nouveau par rapport aux précédents programmes et il n’est pas défini dans le texte du programme. S’il est vrai qu’il apparaît dans la littérature scolaire principalement en uploads/Geographie/ aaa13060 2 .pdf