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1 Introduction to Finite Element Methods A. Njifenjou Course delivered in 2020-

1 Introduction to Finite Element Methods A. Njifenjou Course delivered in 2020-2021 Academic Year at: National Higher Polytechnic School of Douala (Former Faculty of Industrial Engineering) University of Douala, Douala (Cameroon) and Faculty of Sciences University of Douala Douala, Cameroon Objectives: These course notes are neither an exhaustive nor an advanced course on the Finite Element Methods (FEM, for short). We propose according to the official Master 1 Program of Cameroon higher education an introduction to the FEM. The global purpose of this course is to give to Master 1 students general strong skill tools for finite element analysis of Partial Differential Equations (PDE, for short) arising in Engineering problems. Considering very simple diffusion and diffusion-convection models in one and two dimensional spaces, fundamental aspects of Finite Element formulations of second order elliptic PDE are exposed as well as easy-to-implement ways of getting the so-called rigidity- matrix and the right-hand side (involving boundary conditions) of the discrete version of these PDE. Douala, 1st may 2021. 2 Chapitre I Classification des problèmes aux limites et Rappels d’Analyse I.1 Problèmes aux limites: définition et classification Définition I.1.1 : Dans les sciences mathématiques on appelle problème aux limites un problème consistant à trouver une fonction u (scalaire ou vectorielle) définie dans une partie de l’espace ou tout l’espace (à une, deux ou trois dimensions), dépendant éventuellement du temps (cas des problèmes aux limites évolutifs) et satisfaisant à une ou plusieurs équations gouvernées par des opérateurs aux dérivées partielles, ainsi qu’à des conditions aux limites et éventuellement des conditions initiales (si la dépendance en temps a lieu) Dans la suite de cet exposé on va se concentrer sur les problèmes aux limites du second ordre (noter que l’ordre d’un problème aux limites est égal à l’ordre maximal d’opérateurs aux dérivées partielles en espace gouvernant ce problème). Comme on va le voir dans les exemples suivants, l’ordre maximal de dérivation en temps (pour les problèmes aux limites évolutifs) restera  à l’ordre maximal de dérivation en espace pour certaines classes de problèmes aux limites. On distingue deux grandes classes de problèmes aux limites du 2nd ordre :  Les problèmes aux limites elliptiques du second ordre qui modélisent des phénomènes physiques sans dépendance par rapport au temps. Il s’agit pour l’essentiel de problèmes de diffusion en régime permanent. A titre d’exemple on a le problème aux limites elliptique suivant (avec CL signifiant Conditions aux Limites, on y revient plus tard): Etant donné un entier d avec 3 1  d , d IR   un ouvert borné de frontière  assez régulière (représentation mathématique d’une structure physique), g une fonction appelée couramment ‘‘terme-source’’ et  une constante réelle strictement positive également donnée, appelée coefficient de diffusion de la structure physique considérée (est la conductivité thermique dans le cas de transfert thermique, la perméabilité absolue divisée par la viscosité dans le cas d’un écoulement monophasique en milieu poreux, …), on considère le problème consistant à : Trouver une fonction u définie dans telle que             sur CL dans x g x u 0  (1.1) Il convient de relever que les conditions aux limites CL sont de nature diverse. Dans la littérature mathématique les conditions aux limites courantes sont les suivantes :  Conditions aux limites de Dirichlet : elles consistent à voir la « trace » de la fonction u sur le bord du domaine d IR   comme une grandeur connue;  Conditions de Neumann : elles consistent à donner le flux diffusif / convectif le long de toute la frontière du domaine ; 3  Conditions aux limites mixtes : Elles consistent à imposer les L C de Dirichlet sur une portion Dir  de la frontière  tandis qu’on fait régner les L C de Neumann sur la portion complémentaire de cette frontière i.e. \ Dir  .  Conditions aux limites de Fourier-Robin : Elles sont adaptées pour la diffusion dans les structures physiques comportant une mince couche superficielle appelée épaisseur de la structure (penser au matériau bois avec son écorce qui en est l’épaisseur). Par exemple dans un problème de diffusion thermique, les L C de Fourier-Robin consistent à mettre en relation le flux et la température (deux grandeurs inconnues) sur la frontière intérieure, avec la température (supposée connue) sur la frontière extérieure de la structure considérée (faisant intervenir naturellement la conductivité thermique de l’épaisseur). Une forme un peu plus générale de cette classe d’EDP est donnée par l’équation suivante (équation de diffusion-convection):           0 , , ,      u x u x Q div u grad u x A div dans  (1.2) où IR IR u d :    est la fonction inconnue,    IR IR A d M    : .,. une fonction tensorielle donnée (appelée conductivité thermique dans le cas de la diffusion thermique) qui s’identifie: (i) soit à un scalaire (cas d’une diffusion isotrope; dans ce cas   s x A ,. . est un réel 0  , p.p. en   x et quel que soit IR s  ), Noter que IR s’injecte canoniquement dans   IR d . M qui désigne l’espace des matrices réelles carrées d’ordre d ; (ii) soit à une matrice vivant dans   IR d . M (cas d’une diffusion anisotrope ; dans ce cas on impose souvent à   s x A ,. . une propriété d’ellipticité uniforme).  IR IR Q    : .,. est une fonction donnée représentant le champ de vitesse de circulation d’une matière entrainant dans son sillage le phénomène physique caractérisé par u (penser à la distribution spatiale de la chaleur dans une structure poreuse anisotrope dans laquelle on injecte de l’eau chaude en mouvement à la vitesse V telle que    x V u u x Q  , . , avec V donnée par la loi de Darcy). L’expression     u grad u x A div ,  s’appelle terme diffusif, tandis que l’expression    x Q u div s’appelle terme convectif (ou encore terme advectif). Enfin la fonction  .,.  est susceptible de modéliser dans : soit l’apport de chaleur, soit la dissipation de chaleur, soit les deux à la fois; cette fonction est une densité par unité de longueur, de surface ou de volume de la structure  selon que d vaut 1, 2 ou 3. Remarque I.1.3: Lorsque  .,. A ne dépend pas effectivement de u et que  .,.  dépend linéairement de u , l’EDP (1.2) est dite linéaire, et lorsque  .,.  seul dépend de u de façon non linéaire on dit que cette équation est semi-linéaire. Dans tous les autres cas l’EDP (1.2) est dite non linéaire. Dans la suite de cet exposé introductif on va se focaliser sur le cas où (1.2) est une EDP linéaire à l’instar de (1.1), sans exclure la possibilité d’envisager des modèles semi-linéaires ou non linéaires 4  Les problèmes aux limites évolutifs qui modélisent des phénomènes physiques soumis à une double dépendance espace- temps. On y distingue deux sous-classes majeures:  La famille des problèmes paraboliques dont l’exemple emblématique est le problème de diffusion thermique en régime transitoire. Dans le cas de la diffusion thermique au sein d’un matériau isotrope homogène ce problème peut être formulé de la manière suivante : Trouver une fonction u définie dans   T , 0   telle que :                               T , 0 ) , ( ) , ( ) ( ) 0 , ( T , 0 0 , , , dans t x u t x u dans x u x u dans t x g t x u t x t u bord init   (1.3) où init u décrit l’état thermique initial, bord u donne l’état thermique de la frontière du matériau à chaque instant et  un paramètre (strictement positif) indépendant du temps, mais susceptible de varier spatialement. Il faut noter que init u et bord u sont des fonctions connues. On rappelle que l’homogénéité du matériau se traduit par l’uniformité du coefficient de conductivité thermique . Le système (1.3) décrit aussi l’écoulement monophasique compressible en milieu poreux homogène isotrope, avec  représentant la porosité et  la perméabilité absolue du milieu divisée par la viscosité du fluide en écoulement dans . Une forme un peu plus générale de l’EDP parabolique (1.3) est            0 , , , ,        u t x x Q u div u grad u x A div t x t u  uploads/Geographie/ an-introduction-to-fem-september-2021.pdf