Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

SUITES PARTICULIERES DR EULOGE KOUAME © UVCI 2019 Fevrier 2019 Table des matièr

SUITES PARTICULIERES DR EULOGE KOUAME © UVCI 2019 Fevrier 2019 Table des matières Objectifs 5 I - Suites Arithmétiques 7 A. Suite Arithmétique.......................................................................................7 B. Exercice......................................................................................................8 C. Exercice......................................................................................................8 II - Suites Géométriques 9 A. Suite Géométrique.......................................................................................9 B. Exercice....................................................................................................10 III - Suites définies par récurrence 11 A. Définition..................................................................................................11 IV - Exercice 13 V - Exercice 15 Solution des exercices 17 Bibliographie 19 Webographie 21 3 Objectifs À la fin de cette leçon, vous serez capable de:  Caractériser une suite arithmétique ;  Caractériser une suite géométrique;  Caractériser une suite définie par récurrence. 5 I - Suites Arithmétiques I Suite Arithmétique 7 Exercice 8 Exercice 8 A. Suite Arithmétique Définition Une suite (un)n∈ℕ est dite arithmétique s'il existe un réel r appelé raison de la suite tel : pour tout n∈ℕ, un+1 = un + r. Méthode Pour déterminer la raison d'une suite arithmétique, on fait la différence de 2 termes consécutifs. Remarque  un est constante si r = 0.  Elle est strictement croissante si r > 0 et strictement décroissante si r < 0.  Pour tout n∈ℕ, un = u0 +nr , et plus généralement : pour tout entier (p,q), un = up + (n-p)r.  Réciproquement, si le terme général d'une suite s’écrit un = a+nb, alors (un)n∈ℕ est une suite arithmétique de premier terme u0 = a et de raison b. Proposition 1 La suite (un)n∈ℕest arithmétique ⇔Pour tout n∈ℕ, un + un+2 = 2un+1 . (prouvez en appliquant la définition) Définition : Progression arithmétique On dit que trois réels a, b, c sont en progression arithmétique s'ils sont des termes successifs d'une suite arithmétique : cela équivaut a dire que a + c = 2b. 7 Proposition 2 La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique un de raison r est : S n=∑ k=0 n−1 uk=nu0+ n(n−1) 2 r= n 2 (u0+un−1) Plus généralement, la somme de n termes successifs est : S n= ∑ k =m m+ n−1 uk= n 2 (um+um+n−1) Une manière de retenir est la formule : (nombre de termes)(1er terme + dernier terme)/2 Exemple Calculer : 2 +5 + 8 +11 + 14 + 17 +20 + 23 + 26 Il y a 9 termes, le premier est 2 et le dernier est 26 donc S9 = 9/2 (2+26) = 126. B. Exercice [Solution n°1 p 17] Soit un la suite arithmétique de raison ½ et de premier terme uo =3. Alors La suite un est croissante Pour tout n de N, un = 3+n/2 u0 + u1 +...+ u8 = 45 La suite un est convergente C. Exercice [Solution n°2 p 17] Soit (un) une suite arithmétique de raison r avec u10 = 8 et u16 = 14. Calculer u4 et exprimer un en fonction de n. u4 = 4 et un = n u4 = 2 et un = n −2 u4 = 2 et un = 8+n u4 = 4 et un = 14 + (n −16) Suites Arithmétiques 8 II - Suites Géométriques II Suite Géométrique 9 Exercice 10 A. Suite Géométrique Définition Une suite (un)n∈ℕ est dite géométrique s'il existe un réel q appelé raison de la suite tel : pour tout n∈ℕ, un+1 = q.un Méthode Pour déterminer la raison d'une suite géométrique on fait le quotient de 2 termes consécutifs. Remarque : Monotonie un est constante si q = 1 si q > 0, la suite garde un signe constant et est monotone. Plus précisément : - si u0 > 0 et q > 1, un > 0 et strictement croissante. - si u0 > 0 et 0 < q < 1, un > 0 et strictement décroissante. - si u0 < 0 et q > 1, un < 0 et strictement croissante. - si u0 < 0 et 0 < q < 1, un < 0 et strictement décroissante. Proposition 3. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique un de raison q est : Si q ≠ 1, S n=∑ k=0 n−1 uk=u0∑ k=0 n−1 q k=uo 1−q n 1−q Plus généralement, si q ≠ 1, la somme de n termes successifs est : S n= ∑ k =m m+n−1 uk=um 1−q n 1−q 9 Exemple Montrer que la limite de (1 +2+ 22+..+2n )/2n est 2. Proposition 4 (convergence) Soit un une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 ≠ 0. 1) Si |q| < 1, limn +∞ → un = 0. 2) Si |q| > 1, limn +∞ → un = +∞. 3) Si q = 1, limn +∞ → un = u0. 4) Si q = -1, un n'a pas de limite. B. Exercice [Solution n°3 p 17] Soit un la suite géométrique de raison (-3) et de premier terme u0 = 2. Alors La suite est convergente u4 = -162 u10 - u9 = - 8x(-3)9 Suites Géométriques 10 III - Suites définies par récurrence III Définition 11 A. Définition Soit f une fonction de dans et soit a un élément de . On peut définir une suite par :  La donnée de son premier terme  La relation de récurrence : . On alors que la suite un est définie par récurrence. Exemple Remarque Si f n'est définie que sur une partie D de , il faut vérifier pour s'assurer de l'existence de la suite un, que a appartient a D et que pour tout n de : . Exemple 11 Récurrences de pas supérieur On peut définir des suites par des récurrences de pas 2 ( ou supérieur), en se donnant les deux termes initiaux uo et u1 et la relation de récurrence : Convergence des suites définies par récurrences Une suite récurrente donnée n'est pas forcément convergente. Lorsqu'elle admet une limite, l'ensemble des valeurs possibles est restreint par le résultat suivant. Proposition 5 Si f est une fonction continue et la suite récurrente (un) converge vers l, alors l est une solution de l'équation : Si on arrive à montrer que la limite existe, cette proposition affirme qu'elle est à chercher parmi les solutions de l'équation f (l) = l. Une valeur l, vérifiant f(l) = l est un point fixe de f . Suites définies par récurrence 12 IV - Exercice IV Déterminer la limite des suites suivantes Q u e s t i o n 1 [Solution n°4 p 17] un = 1 + 1/2n Q u e s t i o n 2 [Solution n°5 p 17] Q u e s t i o n 3 [Solution n°6 p 17] 13 V - Exercice V On considère une suite ( un) définie sur par ℕ : u0=6; un+1=1 3 un+2 ; On pose vn = un - 3. 1) a) Montrer que la suite vn est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0. b) Exprimer vn puis un en fonction de n. c) En déduire les limites de vn et un . 2) Pour tout entier n , on pose Sn = v0 + v1 +... + vn . Déterminer limite de Sn. 15 Solution des exercices > Solution n°1 (exercice p. 8) La suite un est croissante Pour tout n de N, un = 3+n/2 u0 + u1 +...+ u8 = 45 La suite un est convergente > Solution n°2 (exercice p. 8) u4 = 4 et un = n u4 = 2 et un = n −2 u4 = 2 et un = 8+n u4 = 4 et un = 14 + (n −16) > Solution n°3 (exercice p. 10) La suite est convergente u4 = -162 u10 - u9 = - 8x(-3)9 > Solution n°4 (exercice p. 13) 1 > Solution n°5 (exercice p. 13) 1 > Solution n°6 (exercice p. 13) 1 17 Bibliographie [04] François Liret, Maths en pratique à l'usage des étudiants Cours et exercices, Dunod, 2006 [04] Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak, PROBLÈMES D'ANALYSE I, Exercices et corrigés, EDP Sciences, 2008. 19 Webographie [04] http://www.discmath.ulg.ac.be/ 21 uploads/Geographie/ ana-l2-suite-parti-papier 1 .pdf