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TS Annales 2011-2015 : probabilités . Annales 2011-2016 : probabilités Eစ࿲࿿࿰࿶࿰࿲

TS Annales 2011-2015 : probabilités . Annales 2011-2016 : probabilités Eစ࿲࿿࿰࿶࿰࿲1 . correction Amerique du Nord 2011 Les parties A et B sont indépendantes Partie A Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont dé- fectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ? Partie B La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0 . Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à t années, notée p(X ⩽t), est donnée par : p(X ⩽t) = ∫t 0 λe−λx dx . 1. Déterminer λ sachant que p(X > 5) = 0,4 . 2. Dans cette question, on prendra λ = 0,18 . Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10−3 près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? 3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que p(X > 5) = 0,4 . (a) On considère un lot de 10 ordinateurs. Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supé- rieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité. (b) Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement « l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ? Page 1 TS Annales 2011-2015 : probabilités Eစ࿲࿿࿰࿶࿰࿲2 . correction Amerique du Sud 2011 Commun à tous les candidats Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d'entre eux sont verts et possèdent six faces numéro- tées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6. On prend un dé au hasard dans l'urne et on le lance. On note : □ □ □ V l'évènement : « le dé tiré est vert » □ □ □ R l'évènement : « le dé tiré est rouge » □ □ □ S1 l'évènement : « on obtient 6 au lancer du dé ». 1. On tire au hasard un dé et on eﬀectue un lancer de celui-ci. (a) Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous. V … S1 … S1 … R … S1 … S1 … (b) Calculer la probabilité P(S1) . 2. On tire au hasard un dé de l'urne. On lance ensuite ce dé n fois de suite. On note Sn l'évène- ment : « on obtient 6 à chacun des n lancers ». (a) Démontrer que : P(Sn) = 2 3 × (1 6 )n + 1 3 × (2 3 )n . (b) Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité d'avoir tiré le dé rouge, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des n lancers. Démontrer que : pn = 1 2× ( 1 4 )n +1 . (c) Déterminer le plus petit entier n0 tel que pn ⩾0,999 pour tout n ⩾n0 . Page 2 TS Annales 2011-2015 : probabilités Eစ࿲࿿࿰࿶࿰࿲3 . correction Asie 2011 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité On admet que la durée de vie (exprimée en années) d'un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ ( λ stric- tement positif), c'est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l'année t ( t positif) s'exprime par : F(t) = p(X ⩽t) = p([0 ; t]) = ∫t 0 λe−λx dx. 1. Restitution organisée de connaissances Pré-requis : (a) pB(A) = p(A∩B) p(B) (où A et B sont deux évènements tels que p(B) ̸= 0 ) ; (b) p ( A ) = 1−p(A) (où A est un évènement) ; (c) p([a ; b]) = F(b)−F(a) (où a et b sont des nombres réels positifs tels que a ⩽b ). Démontrer que, pour tout nombre réel positif s , on a : p[t ; +∞]([t ; t + s]) = F(t + s)−F(t) 1−F(t) , et que p[t ; +∞]([t ; t + s]) est indépendant du nombre réel t . Pour la suite de l'exercice, on prendra λ = 0,2 . 2. Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deux premières années est égale à e−0,4 . 3. Sachant que le capteur n'est pas tombé en panne au cours des deux premières années, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ? 4. On considère un lot de 10 capteurs, fonctionnant de manière indépendante. Dans cette question, les probabilités seront arrondies à la sixième décimale. (a) Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait exactement deux capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deux premières années. (b) Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un capteur qui ne tombe pas en panne au cours des deux premières années. Page 3 TS Annales 2011-2015 : probabilités Eစ࿲࿿࿰࿶࿰࿲4 . correction Antilles septembre 2011 Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne. Partie A : Pour un premier jeu : • si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à 2 5 . • si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à 4 5 . Pour tout entier naturel non nul n , on désigne par Gn l'évènement « l'internaute gagne la n -ième partie » et on note pn la probabilité de l'évènement Gn . L'internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1 . 1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant : Gn pn Gn+1 … Gn+1 … Gn 1−pn Gn+1 … Gn+1 … 2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn+1 = 1 5 pn + 1 5 . 3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose un = pn −1 4 . (a) Montrer que (un)n∈N est une suite géométrique de raison 1 5 et de premier terme u1 à préciser. (b) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn = 3 4 × (1 5 )n−1 + 1 4 . (c) Déterminer la limite de pn . Partie B : Dans un second jeu, le joueur doit eﬀectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes. La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1 4 . Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 1. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justiﬁer. (b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2 près. (c) Déterminer l'espérance de X. 2. Le joueur doit payer 30 e pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 e. (a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. (b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéﬁce supérieur à 40 e ? Le résultat sera arrondi à 10−5 près. Page 4 TS Annales 2011-2015 : probabilités Eစ࿲࿿࿰࿶࿰࿲5 . correction Métropole 2011 Commun à tous les candidats Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4 . Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus. PARTIE A On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : □ □ □La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test). □ □ □La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spéciﬁcité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l'évènement « la personne est contaminée par le virus » et T l'évènement « le test est positif ». V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T . 1. (a) Préciser les valeurs des probabilités P(V), PV(T), PV(T) . Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. (b) En déduire la probabilité de l'évènement V ∩T . 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2. 3. (a) Justiﬁer par un calcul la phrase : « Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée ». (b) Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas uploads/Geographie/ annales-2011-2016-probabilites.pdf