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Les TransforMiM Zé'aventure ntatnefnat^q^e de la géoméiirie à l'art EDiTiONS PO

Les TransforMiM Zé'aventure ntatnefnat^q^e de la géoméiirie à l'art EDiTiONS POLE HS n° 35 ISSN 0987-0806 Bibliothèque :e Ij'avenizzire yna'fcHé'ma'tique Tangente Hors-série n° 35 Les Transformations de la géométrie à Fart Sous la direction de Hervé Lehning ËDiTiONS POLE © Editions POLE - Paris 2009 Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tous procédés, en tous pays, faite sans autorisation préalable est illicite, et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf. : Loi du 11 mars 1957. I.S.B.N. 9782848840970 I.S.S.N. 0987-0806 Commission paritaire 1011 K 80883 ^ m M\ ^ Les Transformations Sommaire DOSSIER Les origines artistiques dela géométrie Qui a inventé les notions de point, de ligne et de surfa ce ? Des arpenteurs, des artistes ? L'étude de la préhis toire des formes mathématiques houscide les idées reçues. Transformations géométriques, tout un art Que voyons-nous dans l'eau ? Image dans une boule de Noël Transformations à l'Âge de pierre Réflexions sur le miroir Découpages siamois Projection et photographie L'anamorphose DOSSIER Le regard du mathématicien À quoi servent les transformations géométriques en mathématiques ? La réponse se trouve dans le pro gramme d'Erlangen. Les groupes de transformations structurent la géométrie en ses diverses branches : affi ne, métrique... Les isométries Les similitudes et les transformations affines Les groupes, concrets et abstraits La transformation du boulanger Formes, déformations et invariances Transformer, c'est gagner ! Les formes du second degré L'œil du topologue et le morphing La projection centrale et l'homographie La géométrie projective (suite du sommaire au verso) Hors série n"35. Les Transfc rmations Tangente DOSSIER L'inversion et l'arbelos L'inversion et la chasse au lion Coxeter, de la géométrie à l'art Histoire de bouchons Translater, c'est quarrer Points et figures invariants Formes des groupes d'ordre six Transformer pour créer Que ce soit pour représenter l'éloignement spatial dans un tableau à deux dimensions, pour paver une surface à l'aide d'un motifsans trou ni chevauchement, ou pour "tricoter" des entrelacs magnifiques mais complexes, on utilise une transformation ! Peintres et géomètres Fuites et perspectives la perspective cavalière La géométrie descriptive La géométrie des fortifications Représenter et déformer un objet en 3D Les «Imajustages» de Myriam Labadie Calissons et perspectives L'art de paver Des groupes pour construire des pavages Entrelacs Jeux et problèmes Problèmes Solutions En Bref Tangente Hors série n°35. Les Transformatic 29, 33, 46, 79 156 15, 19, 47, 87, 91, 95, 99, 135 lU^ s.< fclî»! S;< l r M mz \ •>5- / Tradlformations géoniétuguisriout un art Qirlj(Qyons-nous dani1^ ? \ ImageoànHiQe^uà de^Noël Mransformationsl^ge de pierrj Réflexions suMémiroIr ' ^ Décollages siamois ^^Jlieiéction et photographie L'anapiorphose "X DOSSIER vk i ik. é yf-' SAVOIRS par Elisabeth Busser Les transformations géométriques, tout un art Des céramiques « Rubané » du Néolithique à Vart contempo rain, quel artiste n'a pas utilisé de transformation géomé trique ? Panorama de la mise en œuvre graphique d'un concept mathématique. Au Néolithique, entre le 8*^ et le 7® millénaire avant notre ère, l'homme, devenu sédentaire, avait besoin de jarres pour la conserva tion et la cuisson des aliments. Il se mit donc à fabriquer des vases en poterie mais il fit bien plus : il les décora. Mieux : il choisit comme motifs de décoration des objets géométriques et les combina en de savants entrelacs. On vit ainsi fleurir sur des vases retrouvés par exemple le long du Danube de véritables frises formant un ruban autour du récipient : ce sont les céramiques du « rubané ». Les motifs de base sont élémentaires : points, seg ments, cercles. Quelques figures géo métriques simples les accompagnent : triangles, losanges et même spirales, comme sur le dessin ci-après. Le des sin de base est reproduit autour de la « panse » du récipient soit par transla- Transformer une image c'est simplement la dupliquer ou alors la modifier pour obtenir un effet artistique. Nos ancêtres de l'Age de pierre combinaient des motifs géométriques simples pour orner des poteries, les céramistes arabes du XIP siècle inventaient sans le savoir les groupes de pavages pour dessiner les plafonds de l'Alhambra de Grenade, Holbein cachait dans l'un de ses tableaux un crâne méconnaissable, Vasarely et bien d'autres tordent et défor ment carrés, cercles et triangles pour le plaisir des amateurs d'art aujourd'hui. Tous ces artistes utilisent abondamment dans leurs œuvres des transformations géométriques. Faisons ensemble le tour de leurs techniques. iyvte Hors-série n°35. Les transformations DOSSIER : LES ORIGINES ARTISTIQUES Vase décoré du Néolithique. tion soit par symétrie, s'il n'est pas déformé, soit par homothétie pour don ner par exemple des losanges emboî tés. Raffinement suprême : on sait décorer deux vases de taille différente avec le même motif : il suffit de le transformer par similitude. Esthétiquedes frises et pauages Loin d'abandonner l'idée de motifs répétitifs, les artistes ont continué au fil des siècles à l'utiliser en décoration, créant sans cesse de nouveaux modèles offrant symétrie et régularité. Dentelles à l'aiguille ou au fuseau de la Renaissance, « dentelles de bois » ou lambrequins ornant les maisons créoles du XIX® siècle, autant d'exemples de ce que les mathématiciens appellent « frises ». L'esthétique de ces jolies réalisations, qui semblent présenter d'infinies variantes, réside plus dans la beauté et l'originalité des dessins de base que dans la variété de leur agen cement. La géométrie nous dit en effet que le nombre possible de leurs dispo sitions est limité à sept. i Pour paver le plan au lieu de remplir des rubans, les possibi lités sont là aussi limitées, mais à dix-sept. On trouve de magni fiques exemples de tous ces pavages sur les mosaïques ou les fresques ornant les plafonds du palais de l'Alhambra à Grenade. Commencé au XIL siècle, le magnifique édifice a vu les artistes arabes se succé der pendant environ quatre cents ans pour peaufiner leurs ornementations, s'ingéniant à représenter la totalité des dix-sept pos sibilités de styles de pavages. Camouflage par anamorphose Les peintres ont traité la symétrie de bien d'autres façons qu'en complétant un ruban ou en remplissant le plan. Certains ont inclus dans leurs œuvres des dessins cachés, n'en représentant que l'image déformée par un miroir de forme particulière. Ils ne deviennent visibles qu'en regardant le tableau à travers ce miroir ou en se déplaçant pour le voir sous un certain angle. L'une des astuces de ces représenta tions se nomme « anamorphose » et de nombreux artistes l'ont utilisée : Léonard de Vinci vers 1488, dans un dessin de visage d'enfant avec un œil. Poterie du Néolithique. Une des mosaïques de l'Alhambra. .ngen±e Babytood de J. Beever, l'envers du décor § « Œil en anamorphose » ou, plus près de nous, Salvador Dali. Le tableau-phare de l'anamorphose est cependant celui de Holbein, Les Ambassadeurs, de 1533. Sur ce tableau, deux '' ' •" figurent de part et d autre d'une table couverte d'instruments symboli sant d'une part les sciences du ciel, d'autre part les choses terrestres. Jusque là, rien que de conventiormel. Pourtant, au bas du tableau, im étrange « os de seiche » blanchâtre qui appa remment n'a rien à faire là et ne repré sente rien... sauf si on regarde le tableau de biais en incidence rasante. L'objet incongru devient alors identi fiable : pas de doute, c'est un crâne qui nous regarde à notre insu, rappel à l'ordre du peintre sans doute pour dénoncer la vanité du monde. L'anamorphose est aussi utilisée par de nombreux artistes contemporains, comme Julian Beever, qui trace magis tralement sur les trottoirs des dessins ou très évocateurs ou très bizarres selon le point de vue du spectateur, tel ce Babyfood, terrifiant de réalisme d'un côté et complètement insignifiant d'un autre. Traitement de ['image d'aujourd'hui Les artistes contemporains, on vient d'en voir un exemple, n'hésitent pas à Tangen-te Hors-série n°35. Les transformations DOSSIER: LES ORIGINES ARTISTIQUES Les sept types de frises On peut compter les types de frises en faisant appel aux transformations du plan et à leur com position. Les mathématiciens les répertorient comme le feraient les cristallographes : • avec un « f » , comme « frise », pour la translation horizontale, qu'on retrouve dans tous les modèles, • un « 2 » si dans la répétition des motifs on trouve une symétrie centrale, un « 1 » sinon, • un « m » à gauche si on y trouve une symétrie-miroir (réflexion) d'axe vertical, • un « m » ou un « g » à droite s'il y a réflexion ou symétrie glissée (composition d'une réflexion et d'une symétrie d'axes parallèles) d'axe horizontal. Il n'y a donc que sept dispositions possibles : fl, flg, flm, fml, f2, fm2 et f2m. Cette nota tion a le mérite d'être claire ; dans le type f2m, on fait par exemple subir au dessin de base une symétrie d'axe vertical puis à l'ensemble obtenu un demi-tour ou symétrie centrale puis on translate le tout jusqu'à reconstituer la frise entière. Un lambrequin du type f2m déformer les images et pas seulement par anamorphose. Ils sont nombreux - sans être mathématiciens - à utiliser la géométrie uploads/Geographie/ bibliotheque-tangente-hors-serie-n035-herve-lehning-collectif-les-transformations-de-la-geometrie-a-l-x27-art-pole-2009.pdf