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Pays : Burkina Faso Annee : 2016 Examen : BAC, series C-E Duree : 4 h Epreuve :

Pays : Burkina Faso Annee : 2016 Examen : BAC, series C-E Duree : 4 h Epreuve : Mathematiques, lerTour Coefficient: 06 EXERCICE 1 (4 points) Une ume eontient sept boules numerotees de 1 a 7. Les boules portant un numero pair sont de eouleur blanche ; les boules portant un numero impair sont de eouleur noire. 1. On suppose que, lorsque Eon tire une boule de Eume, et si Eon designe par Pk la probabilite de tirer la boule numerotee k, alors on a : Pi = P3 = P5 = P? = a et P2 = P4 = Pe = 2a. On tire une boule de Eume. Quelle est la probabilite de tirer : a) une boule blanche ? b) une boule noire ? c) On tire une boule. On note sa eouleur et on la remet dans Eurne, puis on tire une deuxieme fois une boule de Eume. On realise ainsi deux tirages successifs que Eon suppose independants. Soit X la variable aleatoire qui prend pour valeur le nombre de boules blanches sorties au cours des deux tirages. a) Quelle est la loi de probabilite de la variable aleatoire X ? P) Calculer Eesperance mathematique E(X) de X 2. On tire maintenant simultanement deux boules de Eume. On associe a cette epreuve un univers Q dont les eventualites sont des paires de deux boules. On suppose que si n est le nombre de boules blanches figurant dans une paire et p la probabilite de Eevenement reduit a cette paire, alors le rapport est le meme pour toutes les eventualites de Q. n+l r Calculer la probabilite de Eevenement: « tirer deux boules blanches ». NB : Les questions 1. et 2. sont independantes. EXERCICE 2 (4 points) Le plan complexe est muni d'un repere orthonormal direct (O, u. v). 1. Resoudre dans (C E equation : z" - (1 + i)z + i = 0. 2. Soit <9un reel tel que : 0 < 0 < j. On considere dans (C Eequation (E) : z2 -2edz cos<9+ el26l= 0. a) Verifier que 1 est une solution de (E). b) En deduire Eautre solution de (E). 3. On designe par A et B les points d'affixes respectives 1 et e2e. a) Determiner Eensemble des points B quand 0varie dans Eintervalle jo, b) Determiner Eaffixe du point C pour que le quadrilatere OACB soit un losange. 1 c) Determiner le(s) reel(s) 0pour que la mesure de Eaire du losange OACB soit egale a -. 1/2 PROBLEME (12 points) Le plan (P) est rapporte a un repere orthonormal (O, i, j). On designe par (Cm) la courbe d'equation : y2 = mx2 - (m - l)x - 3(2m + 1), on m est un parametre reel. Partie I (7,5 points) 1. Montrer que quel que soit le reel m, la courbe (Cm) passe par un point fixe A dont on donnera les coordonnees. 2. On suppose que m est non nul. a) Montrer que (Cm) est une conique a centre dont le centre Im a pour coordonnees (~~ ; 0 j b) Preciser suivant les valeurs de m, si (Cm) est une ellipse ou une hyperbole. c) Construire (CO et (C.i) dans le meme repere. 3. Soit (a, /?) un couple de nombres complexes et f la transformation du plan (P), qui a tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que : z' = az + /?. a) Determiner a et sachant que les points A(3 ; 0) et B(-3 ; 0) ont pour images respectives les points A'(3 ; -3) et B'(-3 ; 3). b) Donner la nature de f, puis determiner ses elements caracteristiques. Dans la suite du probleme, f est la transformation ainsi determinee. 4. Justifier que Pensemble (C.i), image de (C.i) par f est un cercle dont on precisera le centre et le rayon. 5. Soit M le point de coordonnees (x, y) et M' le point de coordonnees (x', y'), image de M par f. a) Exprimer x' et y' en fonction de x et y, puis x et y en fonction de x' et y'. b) En deduire une equation cartesienne de (C'i) image de (CO par f. c) Construire (C'i) dans le repere precedent. Partie II (2,5 points) Soit (D) la droite d'equation : 5x - y - 21 = 0. 1. Determiner une equation de (D'), image de (D) par f. 2. E et F (F d'ordonnee positive) sont les points d'intersection de (Ci) et (D), E' et F' leurs images respectives par f. Determiner les coordonnees des points E, F, E' et F'. 3. Soit (S) la surface delimitee par la courbe (CO et le segment [EE] et (S') son image par f. Calculer I'aire A(S') de (S') et en deduire I'aire A(S) de (S). Partie III (2 points) On prend m = 0. 1. Quelle est la nature de (Co) ? 2. Tracer (Co) dans un autre repere. 3. Soit G le barycentre du systeme {(A, 2), (B, 1), (M, 1)} ou M est un point de (Co), A et B les points definis dans la partie f. On note (Fq) la courbe decrite par G lorsque M parcourt la courbe (Co). Demontrer que (Fq) est E image de (Co) par une homothetie de centre K(1 ; 0) dont on precisera le rapport. 2/2 uploads/Geographie/ burkina-2016-c-e-1ertour.pdf