1 Cours de Systèmes dynamiques, chaos et applications. Frédéric Faure Universit

1 Cours de Systèmes dynamiques, chaos et applications. Frédéric Faure Université Grenoble Alpes, France frederic.faure@univ-grenoble-alpes.fr Master de Physique M1 (version : 9 octobre 2018) Table des matières 1 Introduction 7 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Le problème de prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Le problème inverse ou problème de découverte des lois. Modélisation. 10 1.1.3 Hasard et déterminisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Modèle du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Equation de mouvement de Newton (1687) . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Résolution numérique de l'EDO (1.2.3) par la méthode de Euler (1768) 16 1.2.3 Section de Poincaré (1892) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.4 Systèmes physiques reliés au modèle du pendule . . . . . . . . . . . 22 1.3 L'application logistique (1838,1985) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3 Ensemble de Mandelbrot (1980) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.4 L'ensemble de Julia (1918) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Billard de Sinaï (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.1 Le billard rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.2 Billard dispersif de Sinaï (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.3 Systèmes physiques reliés au modèle du billard dispersif . . . . . . . 34 1.5 Dynamique spatio-temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.5.1 Modèle de Belousov-Zhabotinsky (1950) . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.5.2 Interprétation du modèle en chimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 Applications et champ de vecteurs 39 2.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Dé nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2 Rappels sur la diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.3 Applications conservatives ou dissipatives . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.4 Opérateur de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.5 Point xe et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1 Dé nitions : champ de vecteur, équations du mouvement, ot . . . 49 2 TABLE DES MATIÈRES 3 2.2.2 Flot conservatifs et dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.3 Opérateur de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.4 (*)Théorème fondamental qui garantit les solutions aux EDO . . . 54 2.2.5 Point xe et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3 Dynamique Hamiltonienne, Billards et ot géodésique 59 3.1 Équations de mouvement de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Flot Hamiltonien et crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4 Particule libre dans l'espace Euclidien. Translation sur le tore et billards . 65 3.4.1 Particule libre sur le cercle S1 ou le tore Td . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.2 Billards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5 Particule libre sur une surface (ou espace courbe). Géodésiques . . . . . . . 74 3.5.1 Du ot géodésique au billard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.6 Apparition du chaos dans un billard circulaire déformé . . . . . . . . . . . 77 3.6.1 Modèle étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6.2 Billard circulaire (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6.3 Billard légèrement déformé (a = 0.02) . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.6.4 Billard plus déformé (a = 0.05) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6.5 Billard déformé (a = 0.1 −0.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7 Exemples de perturbation de modèles intégrables, apparition du chaos Ha- miltonien, avec d = 2 degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.1 L'application standard (standard map) . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.7.2 Le pendule magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.7.3 Le problème à trois corps réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Dynamique de champs et morphogénèse 86 4.1 Modèle à une dimension et une composante . . . . uploads/Geographie/ cours-chaos-pdf 1 .pdf

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