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II – CALCUL LITTÉRAL MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL

II – CALCUL LITTÉRAL MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 2 DÉMONTRER À L’AIDE DU CALCUL LITTÉRAL, S’INITIER AU RAISONNEMENT Héla BEN SALAH Collège Erik Satie 77 Mitry-Mory Karine HELIES Collège Hutinel 77 Gretz-Armainvilliers Geoffroy LABOUDIGUE Collège Roger Martin du Gard 93 Epinay-Sur-Seine Les programmes « La formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels du cycle 4. […] En 3e, les élèves résolvent algébriquement équations et inéquations du 1er degré, et mobilisent le calcul littéral pour démontrer. » Problématique L’objectif du travail qui est mené en cycle 4, en calcul littéral, est de familiariser au maximum les élèves avec l’utilisation de la lettre en mathématiques. Le recours au calcul littéral doit prendre du sens pour les élèves et devenir un réflexe. L’apprentissage de l’utilisation de la lettre en mathématiques est complexe car l’élève doit prendre conscience de ses différents statuts. Analyse a priori Nous avons fait le choix d’activités permettant une imprégnation régulière et progressive du calcul littéral (questions flash). Pour donner du sens à la lettre, et pour rendre la notion plus concrète, nous avons privilégié des activités issues de domaines variés et à supports variés (questions flash, exercices, activités de groupes, problèmes, jeux). L’emploi de solveurs d’équations doit aider les élèves à s’engager plus facilement dans une démarche utilisant le calcul littéral. Des questions flash quotidiennes L'objectif de ces séances est d’automatiser l’utilisation du calcul littéral et de ses règles. Plutôt que de construire des séries de questions flash composées uniquement de calcul littéral, nous avons opté pour une question de calcul littéral par série (et donc une par jour !). MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 3 Nous donnons ici des exemples de questions flash données tout au long de l’année. En arithmétique 1 Exprimer en fonction de x, le double de x (ou un multiple de 2) 2 Exprimer en fonction de x, le double de x augmenté de 1. 3 Exprimer en fonction de x, le triple de x. (ou un multiple de 3) 4 Exprimer en fonction de x, le triple de x diminué de 2. 5 Exprimer en fonction de n, le nombre entier suivant n. 6 Exprimer en fonction de n, le nombre entier précédent n. 7 Exprimer en fonction de n, les deux nombres entiers suivants n. 8 Exprimer en fonction de n, les deux nombres entiers précédents n. 9 Exprimer en fonction de n, le tiers de n. 10 Exprimer en fonction de n, le cube de n. 11 Exprimer en fonction de n, le carré de n. 12 Exprimer en fonction de n, la somme du double de n et de 9. 13 Exprimer en fonction de n, le produit de 6 par le triple de n. 14 Exprimer en fonction de n, la différence de n et de 7. 15 Exprimer en fonction de n, le produit de la différence de n et de 5 par la somme de n et de 4. Avec des programmes de calculs et des fonctions 1 Choisir un nombre. Le multiplier par 3. Ajouter 2. Que donne le programme si on choisit 4 au départ ? 2 Choisir un nombre. Le multiplier par 3. Ajouter 2. Quel nombre a-t-on choisi sachant qu’on a obtenu 32 à la fin ? 3 Choisir un nombre. Le multiplier par 3. Ajouter 2. Que donne le programme si on choisit x au départ ? 4 Choisir un nombre. Ajouter 2. Multiplier le résultat par 3. Que donne le programme si on choisit 4 au départ ? 5 Choisir un nombre. Ajouter 2. Multiplier le résultat par 3. Que donne le programme si on choisit x au départ ? 6 Choisir un nombre. Ajouter 1. Elever au carré le résultat. Que donne le programme si on choisit 3 et – 3 au départ ? MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 4 7 Choisir un nombre. Ajouter 1. Elever au carré le résultat. Que donne le programme si on choisit x au départ ? 8 Que fait ce programme ? 9 Que fait ce programme ? 10 Le nombre obtenu par ce programme est 12. Quel est le nombre de départ qui a été caché ? MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 5 11 On considère la fonction qui, à un nombre x, associe son carré augmenté de 3. Donner une expression algébrique de la fonction. 12 On considère la fonction qui, à un nombre x, associe son carré augmenté de 3. Donner une expression algébrique de la fonction. 13 Voici un programme de calculs : Choisir un nombre. Calculer son carré. Multiplier par 5. Ajouter 10. Marc choisit 2 comme nombre de départ et obtient 30. Est-ce exact ? 14 Voici un programme de calculs : Choisir un nombre. Calculer son carré. Multiplier par 5. Ajouter 10. On note p la fonction qui, au nombre x choisi, associe le résultat obtenu. Déterminer une expression algébrique de p(x). 15 Trouver un antécédent de 10,2 par la fonction p. En géométrie 1 Exprimer la longueur AB en fonction de x. 2 Exprimer la longueur AB en fonction de x. MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 6 3 Sachant que AC = x, exprimer la longueur AB en fonction de x. 4 Exprimer le périmètre du polygone en fonction de x. 5 Exprimer le périmètre du polygone en fonction de x. MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 7 6 Exprimer le périmètre du polygone en fonction de b. 7 Exprimer le périmètre du polygone ABCDEFGH en fonction de a. 8 Exprimer le périmètre de cette figure en fonction de a. Exprimer l’aire de cette figure en fonction de a. 9 Exprimer la longueur totale des arêtes du pavé en fonction de a. Exprimer le volume du pavé en fonction de a. MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 8 10 Exprimer l’aire de cette figure en fonction de a. 11 Exprimer le périmètre de cette figure constituée de carrés de côté a. Exprimer l’aire de cette figure en fonction de a. 12 Exprimer l’aire de ce losange en fonction de a. 13 Exprimer le périmètre de ce polygone en fonction de a. MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 9 14 Sachant que le rayon des demi-cercles est a, exprimer le périmètre de cette figure en fonction de a et de S. Plusieurs de ces questions sont tirées de brochures de l’APMEP. Exercices types sur le calcul littéral Exercices extraits du livre Transmath 3ème NATHAN 2016. Le calcul littéral pour modéliser : « Modéliser dans la vie quotidienne » pour donner du sens : MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 10 «Changer de cadre en mathématiques » : Le calcul littéral pour trouver une inconnue « Trouver une inconnue dans la vie quotidienne » : Un site de stockage de données en ligne propose l’offre suivante : Si on décide d’acheter 400 Go, combien va-t-on payer ? Avec 15 euros combien de gigaoctets peut-on acheter ? On note f la fonction qui modélise le montant, en euros, d’une commande de x gigaoctets. Donne l’expression de f (x) et donne la nature de la fonction. Calcule l’image de 400. Interprète ton résultat pour la situation. Calcule l’antécédent de 15 par la fonction f. Interprète ton résultat pour la situation. Calcule l’antécédent de 30 par f. MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 11 « Trouver une inconnue en mathématiques » Le calcul littéral pour démontrer une conjecture Voici un algorithme : Choisir un nombre Ajouter 3 à ce nombre Multiplier le résultat précédent par 2 Soustraire au résultat précédent le double du nombre de départ Teste cet algorithme avec les nombres 1 ; 15 ; (– 5). Que constates-tu ? Démontre la conjecture de la question b). Ce type d’exercice peut être complexifié et complété par une question qui nécessitera une équation pour trouver le nombre de départ. Le calcul littéral pour démontrer une propriété mathématique On peut montrer aux élèves l’utilité du calcul littéral pour démontrer une propriété mathématique ; on n’attend pas d’eux qu’ils sachent faire seuls la démonstration, l’objectif étant de les sensibiliser à la démonstration, chose qu’ils feront souvent en classe de seconde. On peut privilégier les démonstrations courtes. Exemple de propriété : « si a = b alors a – c = b – c » Ici a, b, c désignent des nombres quelconques. On sait que : (*) « A = B équivaut à A – B = 0 » Démonstration : On a (a – c) – (b – c) = a – c – b + c = a – b Or a = b donc a – b = 0 Donc (a – c) – (b – c) = 0 et, d’après la propriété (*), a – c = b – c. MATHÉMATIQUES REVISITÉES AU CYCLE 4 – ACADÉMIE DE CRÉTEIL 12 Sur ce type de démonstration courte, il est uploads/Geographie/ calcul-litteral-3eme-pdf-gratuit.pdf