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Chapitre 2. Etude de la déformation d’un milieu continu 1 1. Définition On appe

Chapitre 2. Etude de la déformation d’un milieu continu 1 1. Définition On appelle un milieu continu tout domaine de l’espace occupé par un solide réel (ou un fluide) dont les propriétés physiques attachées à la distribution de matière (masse volumique, chaleurs spécifiques, conductivité, …) sont des fonctions continues et différentiables des trois coordonnées d’un point courant du milieu. En effet, la matière a une structure discontinue à l’échelle moléculaire. Dans ce cours, on se place à l’échelle macroscopique (molaire) ou la matière apparaît bien comme continue. Dans ce chapitre, on va étudier la transformation géométrique qui fait correspondre d’un état final à un état initial sans faire intervenir ni le temps, ni la sollicitation responsable de cette transformation. 2 2. Etude géométrique de la déformation d’un milieu continu Une particule P occupe à l’état initial une position P0 (x0, y0, z0) et à l’état final la position P1 (x1, y1, z1). Les composantes du vecteur déplacement sont ( u, v, w). Une particule Q voisine de P occupe, dans les états initial et final, les positions et . 3 Х Х Х Х 0 0 0 0 x y P z      0 0 0 0 x dx Q y dy z dz         1 0 1 1 0 1 0 x x u P y y v z z w            0 1 0 0 x dx u du Q y dy v dv z dz w dw               Transformation géométrique 0 1 P P 0 0 0 0 Q (x dx, y dy,z dz)    1 0 0 0 Q (x dx u du, y dy v dv,z dz w dw)          sont les composantes du vecteur déplacement On peut écrire de la façon suivante : 4 u du, v dv, w dw    0 1 Q Q 0 1 u u u u du u dx dy dz x y z v v v Q Q v dv v dx dy dz x y z w w w w dw w dx dy dz x y z                                             Sous forme matricielle, le vecteur s’écrit : On a : avec : 5 0 1 Q Q u u u x y z u du u dx v v v v dv v dy x y z w dw w dz w w w x y z                                                                             0 1 0 1 0 0 0 1 Q Q P P gradP P . P Q      0 0 dx P Q dy dz           La matrice se décompose en la somme d’un tenseur symétrique noté et d’un tenseur antisymétrique noté On a alors : 6 0 1 gradP P        0 1 gradP P      0 0 1 1 t 1 gradP P gradP P 2                  0 0 1 1 t 1 gradP P gradP P 2                 Sous forme matricielle, le tenseur symétrique peut s’écrire sous la forme : Sous forme indicielle, le tenseur symétrique peut s’écrire sous la forme : . 7  u v u w u 2 x x y x z 1 v u v w v 2 2 x y y y z w u w v w 2 x z y z z                                                            ij i,j j,i 1 u u 2   Sous forme matricielle, le tenseur antisymétrique peut s’écrire sous la forme : , On constate que : Avec, On peut écrire : avec, s’appelle pseudo vecteur adjoint au tenseur antisymétrique 8   u v u w 0 y x z x 1 v u v w 0 2 x y z y w u w v 0 x z y z                                                    *   x y 0 1 z 1 w v 2 y z 1 u w 1 rotP P 2 z x 2 1 v u 2 x y                                                              0 0 0 0 P Q P Q      Le vecteur s’écrit alors : Un domaine élémentaire entourant subit donc la somme des trois transformations ponctuelles suivantes : 1) Une translation de vecteur directeur 2) Une rotation autour de d’un angle 3) Une translation ponctuelle définie par l’opérateur symétrique qui traduit une déformation pure du domaine élémentaire entourant . 0 1 Q Q      0 1 0 1 0 0 0 0 Q Q P P P Q P Q    0 1 P P 0 P   3. Etude du tenseur de la déformation pure Dans la suite de ce chapitre, on va considérer seulement la troisième transformation géométrique qui correspond à une translation ponctuelle définie par l’opérateur symétrique traduisant une déformation pure. Le vecteur déplacement s’écrit de nouveau : Le vecteur peut s’écrire aussi sous la forme suivante : avec s’appelle tenseur ou matrice de déformation 10     0 1 0 0 Q Q P Q    0 1 Q Q x xy xz 0 1 xy y yz xz yz z du dx dy dz Q Q dv dx dy dz dw dx dy dz                 x xy xz xy y yz xz yz z                      3.1. Décomposition de la déformation en dilatation et glissement Définition : Une particule Q du voisinage P de occupe dans les états initial et final les positions Q0 et Q1 dans le repère On définit alors en P et relativement à la direction de vecteur unitaire : 1) La dilatation linéaire relative traduisant une variation de longueur : 2) Le vecteur glissement traduisant une variation de direction : Le module du vecteur noté s’appelle taux de glissement g. Il est mesuré en radians de l’angle 11   P,x, y,z 1 Q 0 Q 0 n P 1 n g n  n 1 1 0 0 0 0 PQ P Q PQ e P Q PQ     1 0 g n n   g 0 1 Q PQ Calcul de la dilatation et du glissement : On a : On peut écrire alors : = Ce qui donne : avec : On a alors : avec : On peut écrire : d’où : Sous forme matricielle, nous pouvons écrire : Les vecteurs et sont les projections sur et sur le plan normale à du vecteur déformation 12 PQ PQ.n  PQ PQ.n PQ. n     1 0 0 1 PQ PQ Q Q   0 1 Q Q e.PQ.n PQ.g      0 1 0 uploads/Geographie/ chapitre-2-modelisation-geometrique-pdf.pdf