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Épreuve de Mathématiques – Session 2019 – Filière ECT Concours National (CNAEM)

Épreuve de Mathématiques – Session 2019 – Filière ECT Concours National (CNAEM) Durée : 4 heures ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Remarques générales: L’épreuve se compose de quatre exercices indépendants. ⋆⋆⋆⋆⋆ EXERCICE 1 On considère les matrices suivantes : A =   −1 0 0 −2 1 0 −2 −1 2  , P =   1 0 0 1 1 0 1 1 1  , Q =   1 0 0 −1 1 0 0 −1 1  , D =   −1 0 0 0 1 0 0 0 2  , I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  et O =   0 0 0 0 0 0 0 0 0  . Partie 1 Puissances de la matrice A 1. a) Vériﬁer que PQ = I. b) En déduire que P est une matrice inversible et calculer P −1 sa matrice inverse. c) Vériﬁer que AP = PD. d) En déduire que A est une matrice diagonalisable. 2. Soient les vecteurs suivants u =   1 1 1  , v =   0 1 1  et w =   0 0 1  . Montrer que u, v et w sont des vecteurs propres de la matrice A dont on précisera pour chacun sa valeur propre correspondante. 3. a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, An = PDnP −1. b) Déterminer, pour tout entier naturel n, Dn en fonction de n. c) En déduire pour tout entier naturel n, l’expression de An en fonction de n, sous forme d’un tableau. 4. On pose pour tout entier naturel n, Un =   an bn cn  , avec (an)n≥0, (bn)n≥0 et (cn)n≥0 sont des suites réelles. On déﬁnit la suite (Un)n≥0 de la façon suivante, pour tout entier naturel n, Un+1 = AUn et U0 =   −1 1 1  . a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un = AnU0. b) Déterminer, pour tout entier naturel n, an , bn et cn en fonction de n. (On utilisera l’expression de An obtenue dans la Partie 1, question 3. c)). Page 1/4 Épreuve de Mathématiques – Session 2019 – Filière ECT Concours National (CNAEM) c) En utilisant le fait que, pour tout entier naturel n, Un+1 = AUn et U0 =   −1 1 1  , recopier et compléter le programme Scilab suivant aﬁn qu’il aﬃche Un, l’entier n étant donné par l’utilisateur. n=input(...........................................) A=........................................... U=........................................... for i = ..................................... U=........................................... end disp(....................) Partie 2 Résolution de l’équation M 3 = A On propose dans cette partie de résoudre l’équation suivante (E) : M 3 = A, d’inconnue M, matrice carrée d’ordre trois à coeﬃcients réels. Soit M une matrice carrée d’ordre trois à coeﬃcients réels quelconque, on pose N = P −1MP. 1. Montrer que M 3 = A si, et seulement si, N 3 = D. 2. Montrer que, si N 3 = D alors ND = DN. 3. En déduire que, si N 3 = D, alors N est une matrice diagonale. 4. Déterminer la matrice diagonale N telle que N 3 = D. 5. En déduire la solution de l’équation matricielle (E). EXERCICE 2 Soit f la fonction déﬁnie sur R à valeurs réelles telle que, f(t) = ½ 0 si t < 1 e−(t−1) si t ≥1 . 1. a) Calculer, pour tout réel x supérieur ou égal à 1, R x 1 e−(t−1)dt. b) En déduire la valeur de R +∞ 1 e−(t−1)dt. 2. Montrer que f est une densité de probabilité. Dans toute la suite, on note X la variable aléatoire admettant f comme densité. 3. Montrer que la fonction de répartition FX de X est donnée par : FX(x) = ½ 0 si x < 1 1 −e−(x−1) si x ≥1 . 4. Déterminer l’espérance E(X) de la variable aléatoire X.(On pourra utiliser une integration par parties) 5. a) Montrer que E(X2) = 1 + 2E(X), avec E(X2) l’espérance de la variable aléatoire X2. b) En déduire la variance V (X) de la variable aléatoire X. 6. On note Y la variable aléatoire déﬁnie par : Y = X −1. a) Déterminer l’espérance E(Y ) de la variable aléatoire Y . b) Déterminer la variance V (Y ) de la variable aléatoire Y . c) Déterminer la fonction de répartition FY de la variable aléatoire Y . 7. On considère, pour tout entier naturel non nul n, la fonction déﬁnie sur R à valeurs réelles telle que, fn(t) = ( 0 si t < 1 n e−(t−1 n ) si t ≥1 n . a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, fn est une densité de probabilité. Dans toute la suite, on note pour tout entier naturel non nul n, Xn la variable aléatoire admettant fn comme densité, et pour tout entier naturel non nul n, on note Yn la variable aléatoire déﬁnie par Yn = Xn −1 n. Page 2/4 Épreuve de Mathématiques – Session 2019 – Filière ECT Concours National (CNAEM) b) i) Déterminer la fonction de répartition FXn de Xn. ii) En déduire la fonction de répartition FYn de Yn. c) Déterminer pour tout entier naturel non nul n, l’espérance E(Xn) de Xn. d) En déduire pour tout entier naturel non nul n, l’espérance E(Yn) de Yn. e) Déterminer pour tout entier naturel non nul n, P( 2 n ≤Xn ≤3 n). f) Écrire un programme en Scilab qui détermine et aﬃche le plus petit entier naturel non nul n, tel que P( 2 n ≤Xn ≤3 n) ≤10−5. EXERCICE 3 On dispose d’un dé cubique classique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et d’une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d’avoir Face est égale deux fois la probabilité d’avoir Pile. On lance le dé une seule fois et on observe son résultat. Si le résultat du dé est 1, on lance la pièce une seule fois, sinon, on lance la pièce deux fois indépendamment. On note X la variable aléatoire égale au résultat du dé. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de Faces apparues. 1. a) Justiﬁer que X suit une loi uniforme que l’on précisera. b) Déterminer l’espérance E(X) et la variance V (X) de X. 2. a) Montrer que P(X=1)(Y = 0) = 1 3. b) Montrer que pour k ∈{2, 3, 4, 5, 6}, P(X=k)(Y = 0) = 1 9. c) En déduire la valeur de P(Y = 0). 3. Montrer que P(Y = 2) = 10 27. 4. Déterminer la valeur de P(Y = 1). 5. Déterminer l’espérance E(Y ) et la variance V (Y ) de Y . 6. a) Donner, sous la forme d’un tableau à double entrée, la loi du couple (X, Y ). b) Est ce que les deux variables X et Y sont indépendantes? justiﬁer votre réponse. c) Calculer la covariance Cov(X, Y ) de X et Y . d) Déterminer le coeﬃcient de corrélation ρ(X, Y ) entre les deux variables aléatoires X et Y . EXERCICE 4 Une entreprise produit en grande quantité des crayons. Lors de la fabrication, le responsable de l’entreprise considère que certains crayons ne sont pas commercialisables car ils présentent des défauts. Cette entreprise dispose de deux machines de fabrications : La machine M1, lente, pour laquelle la probabilité qu’un crayon soit commercialisable est égale à 0,99. La machine M2, rapide, pour laquelle la probabilité qu’un crayon soit commercialisable est égale à 0,96. À la ﬁn d’une journée de fabrication, on prélève au hasard un crayon et on note les événements suivants : C : "le crayon est commercialisable". On note a la probabilité qu’un crayon provienne de M1 et on note P(C) la probabilité de l’événement C. 1. Montrer que P(C) = 0, 03a + 0, 96. 2. À la ﬁn de la production, on constate que 97% des crayons sont commercialisables. Prouver que la probabilité pour que le crayon provienne de la machine M2 est égale à deux fois la probabilité pour que le crayon provienne de la machine M1. Page 3/4 Épreuve de Mathématiques – Session 2019 – Filière ECT Concours National (CNAEM) 3. On prélève, successivement, indépendamment et avec remise, dix crayons qui sont dans le stock de l’entreprise pour être commercialisés. Dans cette question, on prend P(C) = 0, 97. On appelle X la variable aléatoire associée aux nombre de crayons uploads/Geographie/ cnaem-ect-2019-enonce.pdf