RÉSOLUTION DES FONCTIONS f(x) =0 I. Existence et localisation des racines 1. Th

RÉSOLUTION DES FONCTIONS f(x) =0 I. Existence et localisation des racines 1. Théorème des valeurs intermédiaires Soit la fonction f continue sur [a;b], Si f a × f b 0 alors il existe au moins une valeur c sur l'intervalle d'étude telle que f(c) =0 Si f est monotone sur [a;b], alors la racine c est unique. Exemple: f x = x 3  x1 sur 1;1 f 1 =1 et f 1 = 3 donc il existe au moins une racine sur 1;1 f ' x = 3x ²  1  f ' x  0 donc c est unique 2. Localisation des racines. Il existe principalement deux méthodes: la méthode mathématique et la méthode numérique. a/ Méthode mathématique: x  a b  >0 >0 <0 <0 On aura 3 racines   a ; a    b ;  b b/ Méthode numérique: Algorithme de localisation: On calculeras f xi × f xi  1 pour i variant de 0 à N a b c f x a b x0 xN x1 x2 a  h a  2h c/ Organigramme. 3. Méthode de dichotomie On calcule f a b 2 Si f a × f a b 2  0  c ]a ; a b 2 [ , sinon c ] a b 2 ; b [ Puis on recommence l'opération avec l'intervalle déterminé. Début a; b; N? h= ba N x= a; c=0 x = x+h x b Fin OUI NON y1=f x C NON OUI y2=f x y1 ×y2 0 c=c1 y1=y2 a b c a b 2 f a × f b  0 II. Méthode par itération de point fixe. 1. Équation de point fixe. a/ Définition. Soit f(x) = 0, et x = g(x), on pourra utiliser par exemple que x = x- f(x) b/ Interprétation géométrique. c/ Application contractante. On dit que la fonction g est contractante sur [a;b] s'il existe k<1 tel que g x1 g x2 = k x1 x2  x a ; b k1  g ' x  k C'est à dire que pour tout x dans l'intervalle considéré la variation d'ordonnées n'excède pas la variation d'abscisse . Si une fonction est contractante sur un intervalle donné, alors elle est aussi continue, dérivable. donc g ' x 1 2. Itération de point fixe. On utilisera pour cette méthode une suite récurrente xN construite à partir de x0 la valeur initiale. x0  donné xN 1= g xN s= lim n   xN 3. Théorème de convergence a/ Théorème Soit la fonction g définie sur [a;b] Soit les deux hypothèses: -Contraction: g est contractante sur [a;b] -Inclusion:  x a ; b  g x  a ; b Si ces deux hypothèses sont vérifiées, l'itération x 0  donné x N 1= g x N converge vers la solution s. f x g x y= x s b/ Utilisation pratique: On estimera g'(s) pour éliminer les fonctions g divergentes, c'est à dire les fonctions telles que: g ' x 1 . Si ce cas apparaît, il faudra redéfinir g(x). Exemples: x= e  x log x=  x x= 2sin x  x= arcsin x 2 c/ Représentation graphique des itérations. • Convergence monotone: • Convergence alternée: • Divergence monotone: s x0 0  g ' s 1 s x0 1  g ' s  0 s x0 g ' s 1 • Divergence alternée: d/ Exemple d'étude. Résolvons x + ln x = 0 Df : + * lim x  0 f x = - lim x  +  f x = +  f ' x = 1  1 x Sur le domaine de définition f'(x) est positive donc f(x) est croissante. x 0 s 1  0   1 On peut déduire de ce tableau que la solution s est unique, donc s ]a;b[ Étudions une première itération: x 0  ]0;1[ x N 1= g xN La fonction g est telle que: x= g x x=  ln x  g x =  ln x s x0 g ' s 1 f x g x y= x s 1 g x = ln x g ' x = 1 x d ' où g ' x = 1 x   x]0;1[ g ' x  1 Donc la fonction g n'est pas contractante, le théorème ne s'applique pas. Étude d'une deuxième itération. g 1 ' x = 1 g ' x g 1 ' x 1 Prenons donc g 1 ' x = x ,  x¿ 0 ;1¿ La fonction g 1 est contractante, nous pourrions donc l'utiliser pour notre calcul: g 1 x = 1 2 x ² 1  Cte En réalité, nous utiliserons ici la fonction g x = e x .  x ]0;1[ g ' x = e 1 1 donc g x est contractante g x = e x donc g 0 = 1 g 1 = e 1 g ]0;1[ = ] e 1;1[ On peut donc en déduire que l'hypothèse d'inclusion est vérifiée. L ' itération x0  ]0;1 [ g x = e x converge vers la solution s. Calculons la valeur approchée de s à 10 2 près. x0= 0,5 x1= 0,6065 x2= 0,5453 x7= 0,5685 x8= 0,5684  x8 x7 10 2 S 0,57 e/ Organigramme Nous avons deux critères de réglage possibles en fonction du résultat voulu et des moyens mis en oeuvre: -Précision souhaitée -Nombre d'itérations à calculer III. Méthodes Générales 1. Méthode de LAGRANGE. Cette méthode consiste à tracer des droites reliant 2 points de la courbe avec un point qui reste fixe. Pour cela il faut choisir: -Un intervalle d'étude [a;b] -Une valeur initiale x 0 , le plus souvent égale à a -Un point fixe , le plus souvent égal à b Début xN xN1  X Fin OUI NON xN xN1 x0;? xN= g xN1 i = N X Fin OUI NON Début I=0 I=i+1 x0; N? xN= g xN1 s a x0 b x1 x2 Première itération: calcul de x1 Le point x1 n'est autre que l'intersection entre la droite f ; f x0 et l'axe des abscisses  x1  x0 =  f f x0  f x1 =  f x 0  f x0  f xN  1=  f xN f xN  f • Critère de convergence: choix de x0 et Dans l'intervalle d'étude on choisit tel que f × f ' '  0 souvent = a ou b étude du signe de f ' ' grâce au cercle des concavités. Note: Le choix est beaucoup plus difficile lorsqu'il y a un point d'inflexion. 2. Méthode de la sécante Cette méthode utilise deux points de la courbe, comme dans la méthode précédente, mais il n'y a pas de point fixe. y ' '0 y ' ' 0 A B s x0 x1 x2 f ' xN = f xN 1  f xN xN 1 xN tan = f x1  f x0 x1  x0 = f x1 x2  x1 x2 = x1  f x1 x1 x0 f x1  f x0 xN 1= xN f xN xN xN  1 f xN  f xN  1 Note:si N   alors xN 1 s 3. Méthode de NEWTON Cette méthode est similaire à la méthode de la sécante mais elle nécessite de connaître la dérivée de la fonction à étudier. x0 et s a ; b Calcul de x1 tan  =  f ' x0 tan = f x 0 x1  x0 x1 = x0 f x0 f ' x0 xN 1= xN f xN f ' xN Conditions de fonctionnement de la méthode: -f'(x) existe - f ' xN  0 A B s x0 x1 x 2 Critère de convergence: choix de x0 f x0 × f ' ' x 0 0 On notera ici aussi la difficulté supplémentaire quand la fonction possède un point d'inflexion. • Organigramme: Début xN1 xN  XN+1 Fin OUI NON xN xN1 x0;? xN1= xN f xN f ' xN uploads/Geographie/ cnam-calcul-scientifique-a1-resolution-des-fonctions.pdf

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Administrationméthode fonction point existe fixe.
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