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TD2: Lois usuelles discrètes Enseignant: Atef Lechiheb EPI-INFO3 23 avril 2021

TD2: Lois usuelles discrètes Enseignant: Atef Lechiheb EPI-INFO3 23 avril 2021 A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 1 / 19 Plan 1 Exercice 1 2 Exercice 2 : 3 Exercice 3 A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 2 / 19 Exercice 1 Plan 1 Exercice 1 2 Exercice 2 : 3 Exercice 3 A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 3 / 19 Exercice 1 Exercice 1 : On s’intéresse à l’étude de la population des clients d’un supermarché selon le moyen de paiement : espèces ou autre (carte, chèque,. . . ). Soit X la variable aléatoire tel que : X = 1 si le client paie en espèces et X = 0 sinon. Il est à noter que les clients qui paient en espèces sont en proportion θ. 1 Spéciﬁer la loi de la variable aléatoire X. Donner sa fonction de probabilité. 2 Déterminer le moment non centré d’ordre r de X. En déduire l’espérance et la variance de X. 3 On considère les variables aléatoires X1, X2 et X3 indépendantes et de même loi que X. 1 Reconnaitre la loi de la variable aléatoire Z = P3 i=1 Xi et écrire sa fonction de probabilité. 2 Déterminer l’espérance et la variance de Z en fonction de θ. 3 Pour θ = 0.75, Déterminer P ({Z = 2}) et P ({1 ≤Z < 3}). A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 4 / 19 Exercice 1 Solution : 1) X ⇝B(θ) (Loi de Bernouilli). Densité de probabilité : X(Ω) = {0, 1} et    P({X = 0}) = 1 −θ P({X = 1}) = θ A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 5 / 19 Exercice 1 Solution : 1) X ⇝B(θ) (Loi de Bernouilli). Densité de probabilité : X(Ω) = {0, 1} et    P({X = 0}) = 1 −θ P({X = 1}) = θ 2) E(X r) = X krP({X = k}) = 0rP({X = 0}) + 1rP({X = 1}) = P({X = 1}) = θ. Donc E(X) = θ, E(X 2) = θ et V (X) = E(X 2) −(E(X))2 = θ −θ2 = θ(1 −θ). A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 5 / 19 Exercice 1 Solution : 1) X ⇝B(θ) (Loi de Bernouilli). Densité de probabilité : X(Ω) = {0, 1} et    P({X = 0}) = 1 −θ P({X = 1}) = θ 2) E(X r) = X krP({X = k}) = 0rP({X = 0}) + 1rP({X = 1}) = P({X = 1}) = θ. Donc E(X) = θ, E(X 2) = θ et V (X) = E(X 2) −(E(X))2 = θ −θ2 = θ(1 −θ). A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 5 / 19 Exercice 1 3) X1, X2, X3 ⇝B(θ) et sont indépendantes. A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 6 / 19 Exercice 1 3) X1, X2, X3 ⇝B(θ) et sont indépendantes. a) Z = P Xi ⇝B(3, θ) (Loi binomiale des paramètres 3 et θ). Densité de probabilité : Z(Ω) = {0, 1, 2, 3} et P({Z = k}) = Ck 3 θk(1 −θ)3−k, ∀k = 0, 1, 2, 3. A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 6 / 19 Exercice 1 3) X1, X2, X3 ⇝B(θ) et sont indépendantes. a) Z = P Xi ⇝B(3, θ) (Loi binomiale des paramètres 3 et θ). Densité de probabilité : Z(Ω) = {0, 1, 2, 3} et P({Z = k}) = Ck 3 θk(1 −θ)3−k, ∀k = 0, 1, 2, 3. k 0 1 2 3 P P({Z = k}) (1 −θ)3 3θ(1 −θ)2 3θ2(1 −θ) θ3 1 A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 6 / 19 Exercice 1 3) X1, X2, X3 ⇝B(θ) et sont indépendantes. a) Z = P Xi ⇝B(3, θ) (Loi binomiale des paramètres 3 et θ). Densité de probabilité : Z(Ω) = {0, 1, 2, 3} et P({Z = k}) = Ck 3 θk(1 −θ)3−k, ∀k = 0, 1, 2, 3. k 0 1 2 3 P P({Z = k}) (1 −θ)3 3θ(1 −θ)2 3θ2(1 −θ) θ3 1 b) Directement sans faire le calcul : E(Z) = 3θ, V (Z) = 3θ(1 −θ). c) θ = 0, 75 P({Z = 2}) = C2 3(0, 75)2(1 −0, 75) = 0, 421 P({1 ≤Z < 3}) = P({Z = 1}) + P({Z = 2}) = C1 3(0, 75)1(1 −0, 75)2 + C2 3(0, 75)2(1 −0, 75) = 0, 5625 A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 6 / 19 Exercice 2 : Plan 1 Exercice 1 2 Exercice 2 : 3 Exercice 3 A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 7 / 19 Exercice 2 : Exercice 2 : Dans une région pétrolifère, une société spécialisée dans la prospection et l’extraction de pétrole eﬀectue des forages. Soit X la variable aléatoire tel que : X = 1 si le forage conduit à une nappe de pétrole et X = 0 sinon. Il est à noter que la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est égale à 0, 09. 1 Spéciﬁer la loi de la variable aléatoire X et donner sa fonction de probabilité. 2 La société a eﬀectué 40 forages diﬀérents. On considère la variable aléatoire Y : nombre de forages ayant conduit à une nappe de pétrole. 1 En supposant que les forages eﬀectués sont indépendants, spéciﬁer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y ? Expliquer. 2 Spéciﬁer ses paramètres ainsi que sa fonction de probabilité. 3 1 Par quelle loi discrète peut-on approximer la loi de Y ? Spéciﬁer ses paramètres ? 2 En utilisant cette nouvelle approximation, calculer la probabilité qu’au moins deux forages conduisent à une nappe de pétrole. A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 8 / 19 Exercice 2 : Solution 1) X ⇝B(0, 09) Densité de probabilité : X(Ω) = {0, 1}    P({X = 0}) = 0, 91 P({X = 1}) = 0, 09 2) a) On repète 40 fois une expérience de Bernouilli d’une manière indépedante. Y prend le nombre des succès de ces 40 répititions. Donc Y suit une loi binomiale des paramètres n = 40 et p = 0, 09. b) Y ⇝B(40; 0, 09) Densité de probabilité : Y (Ω) = {0, 1, . . . , 40} et ∀k = 0, 1, . . . , 40 on a P({Y = k}) = Ck 40(0, 09)k(1 −0, 09)40−k. A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 9 / 19 Exercice 2 : 3) Rappel : Limite d’une variable binomiale Pour n « assez grand » (n > 30) et p « proche » de 0 (p < 0, 01) tels que np(1 −p) ne soit « pas trop grand » (≤10), on peut approcher la loi binomiale B(n, p) par la loi de poisson P(λ) où λ = np. a) Dans notre exemple n = 40, p = 0, 09 et np(1 −p) = 3, 27. Donc on peut approcher la loi B(40; 0, 09) par une loi de Poisson de paramètre λ = np = 3, 6. B(40; 0, 09) ∼P(3, 6) Cette loi de Poisson adment comme densité : P({Y = k}) = e−3,6 (3, 6)k k! , ∀k ∈N b) P({Y ≥2}) = 1 −P({Y < 2}) = 1 −(P({Y = 0}) + P({Y = 1})) ≃ 0, 87 A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 10 / 19 Exercice 3 Plan 1 Exercice 1 2 Exercice 2 : 3 Exercice 3 A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 11 / 19 Exercice 3 Exercice 3 : On envisage l’installation d’une pompe à chaleur en relève de chaudière dans un hôtel “deux étoiles” en construction. On se propose d’étudier si le contrat de maintenance forfaitaire annuel proposé par l’installateur, après la période de garantie d’un an, est plus avantageux que la facturation au prix réel des interventions ponctuelles. Une étude statistique permet au constructeur d’aﬃrmer que la probabilité de l’événement “la pompe à chaleur tombe en panne une fois pendant un mois donné” est 0,125. Dans un but de simpliﬁcation, on admet que, pendant un mois donné, la pompe à chaleur ne peut tomber en panne qu’au plus une fois et que les pannes éventuelles survenues deux mois d’une même année sont indépendantes. On note X la variable aléatoire qui, à chaque année (de douze mois), associe le nombre de pannes survenues à la pompe. A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles discrètes 23 avril 2021 12 / 19 Exercice 3 1 Expliquez pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. 2 Calculez la probabilité des événements suivants : ▶A : “il n’y a pas de panne dans l’année”, ▶B : “il y a au plus deux pannes dans l’année”. 3 Calculez l’espérance mathématique, notée E(X), de la variable aléatoire X. Que représente E(X) ? A. Lechiheb (EPI-Indus3) Lois usuelles uploads/Geographie/ corrige-lois-discretes.pdf