Dept de Mathématiques Université Batna 2 (2021-2022) Analyse Numérique1 (2ème A

Dept de Mathématiques Université Batna 2 (2021-2022) Analyse Numérique1 (2ème Année S.A.D) Dr. Oulia. Bouhoufani Corrigé du TD 1 :"Interpolation Polynomiale" Exercice 1 1. Soit P3 ∈P3 [X] l’interpolant de Lagrange à déterminer. Pour tout x ∈R, on a P3(x) = 3 X i=0 yiLi(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x), avec L0(x) = x −2 −2 × x −3 −3 × x −5 −5 = −(x −2)(x −3)(x −5) 30 L1(x) = x 2 × x −3 −1 × x −5 −3 = x(x −3)(x −5) 6 L2(x) = x 3 × x −2 1 × x −5 −2 = −x(x −2)(x −5) 6 L3(x) = x 5 × x −2 3 × x −3 2 = x(x −2)(x −3) 30 . Ainsi P3(x) = (x −2)(x −3)(x −5) 30 + x(x −3)(x −5) 3 −3 2x(x −2)(x −5) + 87 30x(x −2)(x −3) = 53 30x3 −7x2 + 253 30 x −1. 2. Une valeur approchée de f(4.2) : f(4.2) ≃P3(4.2) = 41, 8288. Exercice 2 Soit f(x) = ln x, x ∈R+. 1. Pour estimer la valeur de ln(0.60) par la méthode de Lagrange, on détermine P3 le polynôme d’interpolation de Lagrange associé au tableau donné (comme dans l’exercice 1). L’estimation de ln(0.60) est la valeur : P3(0.60)= ....? 2. L’erreur effectivement commise au point (0.60), par cette interpolation, se donne par : Ee(0.60) = |f(0.60) −P3(0.60)| = |(−0.510826) −.....| = ....? ( On considère comme valeur exacte "f(0.60)" celle obtenue avec la calculatrice). 3. Estimer Et(0.60) (l’érreur théorique au point "x = 0.60") : On a ET(x) = f(x) −Pn(x) = f (n+1)(θ) (n + 1)! × Πn i=0(x −xi), θ ∈[x0, xn] . 1 Ici le n = 3, x = 0.06 et f(x) = ln x, d’où ET(0.60) = f(0.06) −P3(0.06) = f (4)(θ) (4)! × Π3 i=0(x −xi), θ ∈[0.4, 0.8] . Il est claire que f ∈C4([0.4, 0.6]),f ′(x) = 1 x,f ′′(x) = −1 x2 , f (3)(x) = 2 x3, f (4)(x) = −6 x4 . D’où f (4)(x) = 6 x4. On peut vérifier facilement que la fonction x 7− → 6 x4 est décroissante sur [0.4, 0.8] , par suite sup 0.4≤x≤0.8 f (4)(x) = f (4)(0.4) = 6 (0.4)4 = 234, 375. Par conséquent, ET(0.60) ≤234, 375 4! × Π3 i=0(x −xi) ≤9, 765625 × |(0, 4 −0, 6)(0, 5 −0, 6)(0, 7 −0, 6)(0, 8 −0, 6)| ≤3, 9 × 10−3. • Pour le commentaire, il suffit de dire que l’erreur commise, calculée précedement est inférieure à la valeur : 3, 9 × 10−3. Exercice 4 Soit n ∈N∗, x ∈R. 1. Calculons l’erreur théorique en interpolant la fonction g : x 7− →xn, aux points xi = i n; i = 0, 1, ..., n. Ici, il s’agit de (n + 1) points d’interpolation suivants : x0 = 0, x1 = 1 n, x2 = 2 n, ..., xn = n n = 1. L’erreur théorique se donne en tout point x de [0, 1] par, ET(x) = g(x) −Pn(x) = g(n+1)(θ) (n + 1)! × Πn i=0(x −xi), θ ∈[0, 1] , ......(∗) où Pn ∈Pn [X] est le polynôme de cette interpolation. Pour tout x ∈[0, 1], on a g′(x) = (xn)′ = nxn−1, g′′(x) = n(n −1)xn−2, g(3)(x) = n(n −1)(n −2)xn−3,... g(n)(x) = n(n −1)(n −2) × .... × 2 × 1 = n! . D’où g(n+1)(x) = 0. En substituant la valeur de g(n+1)(x) dans (∗), il vient que ET(x) = 0, ∀x ∈[0, 1] . Ainsi, ET ≡0, sur [0, 1]. • Expliquons le résultat : Comme ’g’ la fonction à interpolée (ou à approximée par un polynôme de Pn [X]) est aussi un polynôme d’ordre ≤n et qu’elle passe par les points d’abcisses (xi)i=0,n, alors on déduit que Pn ≡g (car le polynôme d’interpoltion est "unique" (voir le cours)). Par conséquent, ET(x) = g(x) −Pn(x) = 0, ∀x ∈[0, 1] . 2 2. Donnons une expression simple de f, sachant que les points d’interpolation sont données par : xi = i, ∀i = 0, ..., n. Pour tout k = 1, ..., n, on a f(x) = L1(x) + 2kL2(x) + ... + nkLn(x) = n X i=0 (i)kLi(x) = n X i=0 (xi)kLi(x) = n X i=0 g(xi)Li(x), où g(xi) = (xi)k. D’après la 1ère question et en prennant g(x) = xk, (k = 1, ..., n), il résulte que f(x) = xk (car g(n+1)(x) = (xk)(n+1) = 0.) * Ici, L0, L1, ..., Ln sont les polynômes de base de Lagrange associés aux points xi = i; i = 0, 1, ..., n. Exercice 5 Soit f (x) = e−x 10 définie sur l’interval [1, 4] . 1. Calculons P l’interpolant de f par la méthode de Newton. On a 4 points d’interpolation, alors P ∈P3 [X] et ∀x ∈[1, 4] , on a P(x) = 3 X i=0 diNi(x) = f(x0) + d1(x −x0) + d2(x −x0)(x −x1) + d3(x −x0)(x −x1)(x −x2). Les différences divisées (di, i = 1, ..., 3) sont calculer dans le tableau suivant : xi yi = f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[x0, ..., x3] x0 = 1 d0 = f(x0) = 0.905 d1 = 0.819−0.905 2−1 = −0.086 x1 = 2 f(x1) = 0.819 d2 = 0.004 f [x1, x2] = 0.741−0.819 3−2 = −0.078 d3 = ? x2 = 3 f(x2) = 0.741 f [x1, x2, x3] = 0.017 f [x2, x3] = 0.670−0.741 4−3 = −0.044 x3 = 4 f(x2) = 0.670 Où : d1 = f [x0, x1] , d2 = f [x0, x1, x2] = f[x1,x2]−f[x0,x1] x2−x0 , f [x1, x2, x3] = f[x2,x3]−f[x1,x2] x3−x1 et d3 = f [x0, x1, x2, x3] = f[x1,x2,x3]−f[x0,x1,x2] x3−x0 = 0.0043. Du tableau, on déduit que : P(x) = 0.905 −0.086(x −1) + 0.004(x −1)(x −2) + 0.0043(x −1)(x −2)(x −3) = 0.004x3 −0.022x2 −0.051x + 0.973 2. Estimons la valeur de l’erreur au point x = 1.5, si | f (4)(x) |≤10−2. On a ET(1.5) = f(1.5) −P(1.5) = f (4)(θ) (4)! × Π3 i=0(1.5 −xi), θ ∈[1, 4] ≤sup1≤θ≤4 f (4)(θ) (4)! × Π3 i=0(1.5 −xi) ≤10−2 24 × |(1.5 −1)(1.5 −2)(1.5 −3)(1.5 −4)| ≤3.9 × 10−4. 3 Exercice 8 " Interpolation aux points de Tchebychev et aux point équidistants" Considérons la fonction f(x) = 1 1+x2, définie sur [−1, 1]. a) Déterminons P2 l’interpolant de f aux points optimaux (n = 3). Par définition, les points optimaux (ou de Tchebychev) sont donnés par : ˆ xi = cos 2i + 1 2n .π  , i = 0, n −1. D’où, pour n = 3, on trouve les troix points suivants : Pour i = 0, ˆ x0 = cos( π 6) = √ 3 2 , pour i = 1, ˆ x1 = cos( π 2) = 0 et pour i = 2, ˆ x2 = cos( 5π 6 ) = −cos(π6) = − √ 3 2 . * Calculons, maintenant, P2 ∈P2 [X] le polynôme qui interpole f aux points de Tcheychev : ˆ x0 = √ 3 2 , ˆ x1 = 0, ˆ x2 = − √ 3 2 . Par la méthode de Lagrange, on a ∀x ∈[−1, 1], P2(x) = f(ˆ x0)L0(x) + f(ˆ x1)L1(x) + f(ˆ x2)L2(x), avec L0(x) = Π2 k=1 (x−ˆ xk) (ˆ x0−ˆ xk) = x(x+ √ 3 2 ) 3 2 = 2 3x(x + √ 3 2 ), L1(x) = (x− √ 3 2 ) − √ 3/2 × (x+ √ 3 2 ) √ 3/2 = −4 3x2 + 1, et L2(x) = (x− √ 3 2 ) − √ 3 × x − √ 3/2 = 2 3x(x − √ 3 2 ). D’où, P2(x) = f( √ 3 2 ) 2 3x(x + √ 3 2 ) ! + f(0)  −4 3x2 + 1  + f(− √ 3 2 ) 2 3x(x − √ 3 2 ) ! P2(x) = 1 −4 7x2. b) Comparons les erreurs obtenues en approximant la valeur de f( 2 3) par l’interpolation polinomiale de f; aux points de Tchebychev (n = 3), puis aux 3 points équidistans de l’intervall [−1, 1] : 1) L’erreur commise au point x = 2/3, obtenu par l’interpolation aux points optimaux (ou de Tchebychev) est : |Ec(2/3)| = |f(2/3) −P2(2/3)| = |0, 6923 −0, 7460| = 0, 0537 2) Pour calculer l’erreur commise au point x = 2/3, par l’interpolation de f aux points équidistants, on détermine, tout d’abord, P ′ 2 ∈P2 [X] ; le polynôme de cette interpolation. Comme n = 3 alors, les 3 points d’interpolation équidistans de [−1, 1] sont : x0 = −1 et xi = x0 + ih, i = 1, 2, où h = xn−1−x0 n−1 , . Ainsi, x1 = −1 + 1h = 0, x2 = −1 + 2h = 1. * Maintenant, on détermine P ′ 2 par la méthode de Lagrange (ou de Newton). On a ∀x ∈[−1, 1], P ′ 2(x) = uploads/Geographie/ corrige-td1 10 .pdf

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• Publié le Aoû 20, 2021
• Catégorie Geography / Geogra...
• Langue French
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