Analyse 1 Corrig´ e de la fiche de TD1 Damerdji Bouharis A. Universit´ e des Sci

Analyse 1 Corrig´ e de la fiche de TD1 Damerdji Bouharis A. Universit´ e des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf Facult´ e des Math´ ematiques et Informatique. 19 janvier 2021 2 [Ch.0 Damerdji Bouharis A. USTO MB Table des mati` eres 0.1 Enonc´ es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.2 Corrig´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.1 Enonc´ es des exercices Exercice 1 : 1. Montrer les in´ egalit´ es suivantes : (a) |x| + |y| ≤|x + y| + |x −y| , ∀x, y ∈R. (b) √x + y ≤√x + √y , ∀x, y ∈R+. (c) √x −√y ≤ p |x −y| ; ∀x, y ∈R+. 2. Soit [x] la partie enti` ere de x ; montrer que ∀x, y ∈R : (a) x ≤y ⇒[x] ≤[y] , (b) [x] + [y] ≤[x + y] ≤[x] + [y] + 1. Exercice 2 : 1. Montrer que : (a) la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. (b) √ 2 / ∈Q (c) 0, 336433643364 . . . ∈Q 2. Soit a ∈[1, +∞[, simplifier x = p a + 2√a −1 + p a −2√a −1 3. Calculer : (a) A = n P k=0 Ck n (b) B = n Y k=1 1 + 1 k  tel que n ∈N∗. Exercice 3 : On consid` ere l’ensemble E ⊆R muni de l’ordre usuel et A une partie de E, d´ eterminer pour chacun des ensembles suivants : l’ensemble des majorants Maj(A), l’ensemble des minorants Min(A), la borne sup´ erieure Sup(A), la borne inf´ erieure Inf(A), le plus petit ´ el´ ement min(A) et le plus grand ´ el´ ement max(A). 3 4 Table des mati` eres [Ch.0 1. A = [−α, α], [−α, α[, ] −α, α], ] −α, α[.(telque α > 0), E = R. 2. A = {x ∈R / x2 < 2 }, E = R. 3. A = {1 −1 n / n ∈N∗}, E = R. Exercice 4 : Soit A une partie non vide et born´ ee de R. On note B = {|x −y|; (x, y) ∈A2} 1. Justifier que B est major´ ee. 2. On note sup B la borne sup´ erieure de l’ensemble B, montrer que sup B = sup(A) −inf(A). Exercice 5 : On note par PB(R) l’ensemble des parties born´ ees de R, montrer que ∀A, B ∈ PB(R) : 1. (a) sup (A ∪B) = max(sup A, sup B), (b) inf (A ∪B) = min(inf A, inf B), 2. Si A ∩B ̸= ∅alors : (a) sup (A ∩B) ≤min(sup A, sup B), (b) inf (A ∩B) ≥max(inf A, inf B), 3. sup (A + B) = sup A + sup B ; 4. inf (A + B) = inf A + inf B o` u A + B = {x + y / x ∈A et y ∈B} (a) sup(−A) = −inf(A); (b) inf(−A) = −sup A tel que −A = {−x / x ∈A}. Exercice 6 : En utilisant la caract´ erisation de la borne sup´ erieure et la borne inf´ erieure montrer que : 1. sup A = 3 2, inf A = 1 pour A =  3n+1 2n+1 , n ∈N 2. sup B = 2, inf B = 0 pour B =  1 n + 1 n2 , n ∈N∗ 3. sup C = 1, inf C = 0 pour C = {e−n , n ∈N} 4. sup D = −1, inf D = −2 pour D =  1 n2 −2 , n ∈N∗ Calculer max A, min A, max B, min B, max C, min C et max D, min D s’ils existent. Damerdji Bouharis A. USTO MB §0.2] Corrig´ es 5 0.2 Corrig´ es Exercice 1 : 1. ∀x, y ∈R, on a : (a) 2 |x| = |(x + y) + (x −y)| ⇒2 |x| ≤|x + y| + |x −y| et 2 |y| = |(x + y) + (y −x)| ⇒2 |y| ≤|x + y| + |x −y| d’o` u |x| + |y| ≤|x + y| + |x −y| , ∀x, y ∈R. (b) ∀x, y ≥0, on a : x + y ≤x + 2√xy + y, car 2√xy ≥0. ⇔x + y ≤ √x + √y 2 ⇔√x + y ≤√x + √y. (c) ∀x, y ≥0, on a : x = (x −y) + y et (x −y) + y ≤|x −y| + y d’o` u √x ≤ p |x −y| + y Donc en utilisant (b), on a : √x ≤ p |x −y| + √y ⇔√x −√y ≤ p |x −y|... (1) de la mˆ eme fa¸ con, on a : √y ≤ p |y −x| + x et en utilisant (b), on a : √y ≤ p |x −y| + √x ⇔√x −√y ≥− p |x −y|... (2) (1) ∧(2) ⇒ √x −√y ≤ p |x −y|. 2. ∀x, y ∈R : (a) x ≤y ⇒[x] ≤x ≤y < [y] + 1 ⇒[x] ≤y < [y] + 1 or [y] est le plus grand entier inf´ erieur ` a y, et comme [x] est un entier alors [x] ≤[y] . (b) On a : [x] ≤x < [x] + 1 [y] ≤y < [y] + 1  ⇒[x] + [y] ≤x + y < [x] + [y] + 2 or [x + y] est le plus grand entier inf´ erieur ` a x + y, alors [x] + [y] ≤[x + y] ... (3) D’une autre part, on a [x + y]+1 est le plus petit entier sup´ erieur ` a x+y, donc [x + y] + 1 ≤[x] + [y] + 2 ⇔[x + y] ≤[x] + [y] + 1... (4) (3) ∧(4) ⇒[x] + [y] ≤[x + y] ≤[x] + [y] + 1. Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 6 Table des mati` eres [Ch.0 Exercice 2 : 1. (a) Soient x ∈Q, y / ∈Q, on suppose par l’absurde que z = x + y ∈Q, d’o` u y = z −x ∈Q, contradiction. (b) On suppose par l’absurde que √ 2 ∈Q, alors : ∃p, q ∈Z, PGCD(p, q) = 1 tels que √ 2 = p q ⇔p2 = 2q2 ⇒2 divise p2 ⇒2 divise p (car 2 est premier)⇒p = 2k,(k ∈Z). d’o` u 4k2 = 2q2 ⇔2k2 = q2 ⇒2 divise q2 ⇒2 divise q ; contradiction car p et q sont premiers entre eux. (c) Soit x = 0, 336433643364... On a 104x = 3364, 336433643364... d’o` u 104x −x = 9999x = 3364 alors x = 3364 9999 ∈Q. 2. On a x2 = 2a + 2 |a −2| =  4a −4, si a ≥2 4 , si 1 ≤a ≤2 3. (a) On a le binˆ ome de Newton : (a + b)n = n P k=0 Ck n.ak.bn−k; ∀a, b ∈R, d’o` u A = n P k=0 Ck n = (1 + 1)n = 2n. (b) B = n Y k=1 1 + 1 k  = n Y k=1 k+1 k  = 2. 3 2. 4 3. 5 4... n+1 n = n + 1. Damerdji Bouharis A. USTO MB §0.2] Corrig´ es 7 Exercice 3 : 1. A Maj(A) Min(A) sup A inf A max A min A [−α, α] [α, +∞[ ] −∞, −α] α −α α −α [−α, α[ [α, +∞[ ] −∞, −α] α −α ∄ −α ] −α, α] [α, +∞[ ] −∞, −α] α −α α ∄ ] −α, α[ [α, +∞[ ] −∞, −α] α −α ∄ ∄ 2. A =] − √ 2, √ 2[, (4` eme cas du tableau ci-dessus). 3. A =  n−1 n / n ∈N∗ On a ∀n ∈N∗: n ≥1 ⇔n −1 ≥0 ⇒n −1 n ≥0 et 0 ∈A, d’o` u min A = inf A = 0. sup A = 1 ⇔  1)∀n ∈N∗, n−1 n ≤1 2)∀ε > 0, ∃nε ∈N∗; 1 −ε < nε−1 nε 1)∀n ∈N∗, n −1 ≤n ⇔n −1 n ≤1. 2) Soit ε > 0, 1 −ε < n −1 n ⇔1 −ε < 1 −1 n ⇔ε > 1 n ⇔n > 1 ε. alors il suffit de prendre nε =  1 ε  + 1. Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 8 Table des mati` eres [Ch.0 Exercice 4 : B = {|x −y| ; (x, y) ∈A2}. 1. A est une partie born´ ee, alors sup A et inf A existent. On note sup A = M et inf A = m. On a ∀(x, y) ∈A2 :  m ≤x ≤M m ≤y ≤M ⇒  m ≤x ≤M −M ≤−y uploads/Geographie/ corrigetd1.pdf

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