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Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique 30 mars 2015 Int´ egration

Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique 30 mars 2015 Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Contenu 1 Principes des m´ ethodes num´ eriques 2 Exemples M´ ethode des rectangles ` a gauche M´ ethodes des rectangles ` a droite M´ ethode du point milieu M´ ethode des trap` ezes 3 Calculs d’erreurs Rectangles Trap` ezes Majoration de l’erreur th´ eorique 4 La m´ ethode de Simpson Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Principes des m´ ethodes num´ eriques Soit f : [a, b] →R une fonction continue. On cherche ` a calculer une valeur approch´ ee de Z b a f (t)dt Pour cela on choisit une subdivision a = a0 < a1 < · · · < ak = b et par la relation de Chasle, on a Z b a f (t)dt = k−1 X i=0 Z ai+1 ai f (t)dt. On est donc ramen´ e ` a ´ evaluer l’int´ egrale de f sur un “petit” intervalle [ai, ai+1]. Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Principes des m´ ethodes num´ eriques Id´ ee : sur un tel “petit” intervalle, on approche l’int´ egrale en “moyennant” f , c’est-` a-dire, en ´ ecrivant que, sur le petit intervalle, la valeur “moyenne” de f est donn´ ee par ℓi X j=0 ωijf (ξij) o` u ξij ∈[ai, ai+1], 0 ≤j ≤ℓi et Pℓi j=0 ωij = 1. Cela revient ` a prendre ℓi valeurs de f et ` a leur aﬀecter des coeﬃcients (en ωij = 1/nij) pour renforcer ou minimiser certaines de ces valeurs. Cas le plus simple On subdivise en n segments ´ egaux ai = ξi0 < ξi1 < · · · < ξin = ai+1 et on prend ωij = 1 n+1, ∀j. Alors P ωijf (ξij) = P 1 n+1f (ξij) qui est bien la moyenne des f (ξij). Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Principes des m´ ethodes num´ eriques En appliquant ce qui pr´ ec` ede au calcul de l’int´ egrale de f sur [ai, ai+1], on obtient : Z ai+1 ai f (t)dt ∼ = (ai+1 −ai) ℓi X j=0 ωijf (ξij) Remarque Si f (x) = 1 sur tout le segment [ai, ai+1], on obtient Z ai+1 ai f (t)dt = (ai+1 −ai) X ωij × 1 = (ai+1 −ai). Le r´ esultat est donc exact. Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Exemples EXEMPLES (retour au global : int´ egrer sur un segment [a, b]) : Cas le plus simple : ℓi = 0, pour tout i. Autrement dit : un seul point ξi ∈[ai, ai+1], ωi0 = 1, alors : Z b a f (t)dt ∼ = k−1 X i=0 (ai+1 −ai)f (ξi). On approche donc par une somme de Riemann. Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Exemples M´ ethode des rectangles ` a gauche ξi = ai : M´ ethode des rectangles ` a gauche On obtient alors : Z b a f (t)dt ∼ = k−1 X i=0 (ai+1 −ai)f (ai) Autrement dit, si on prend une subdivision r´ eguli` ere, c’est-` a-dire que a0 = a, a1 = a + b−a k , . . . , ak = b = a + k b−a k , Z b a f (t)dt ∼ = b −a k k−1 X i=0 f (a + i b −a k ) Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Exemples M´ ethodes des rectangles ` a droite ξi = ai+1 : M´ ethode des rectangles ` a droite On obtient alors : Z b a f (t)dt ∼ = k−1 X i=0 (ai+1 −ai)f (ai+1) Autrement dit, compte tenu du fait que a0 = a, a1 = a + b−a k , . . . , ak = b = a + k b−a k , Z b a f (t)dt ∼ = b −a k k X i=1 f (a + i b −a k ) Ces deux m´ ethodes sont dites d’ordre z´ ero car elles donnent un r´ esultat exact sur les polynˆ omes de degr´ e 0, les constantes. Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Exemples M´ ethode du point milieu ξi = ai+ai+1 2 M´ ethode du point milieu. On peut v´ eriﬁer que cette m´ ethode est exacte sur les polynˆ omes de degr´ e 1, elle est donc d’ordre 1. On obtient alors : Z b a f (t)dt ∼ = k−1 X i=0 (ai+1 −ai)f (ξi) et, par cons´ equent : Z b a f (t)dt ∼ = b −a k k−1 X i=0 f (a + (2i + 1)(b −a) 2k ) Remarque : Notons que cette m´ ethode revient ` a la m´ ethode g´ en´ erale avec ℓi = 0, en choisissant pour point ξi0 = ai+ai+1 2 . Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Exemples M´ ethode des trap` ezes Cas d’une interpolation lin´ eaire :ℓi = 1, ∀i Faisons ξi0 = ai, ξi1 = ai+1 et identiﬁons le graphe de f avec le segment d´ etermin´ e par les points (ai, f (ai)); (ai+1, f (ai+1)). Cela revient ` a remplacer f par la fonction lin´ eaire p(t) = (t−ai)f (ai+1)−(t−ai+1)f (ai) ai+1−ai On obtient ainsi la m´ ethode des trap` ezes qui donne les formules Z ai+1 ai f (t)dt ∼ = ai+1 −ai 2 (f (ai) + f (ai+1)) et dans le cas de subdivisions ´ egales Z b a f (t)dt ∼ = b −a 2k k−1 X i=0 f (a + i b −a k ) + f (a + (i + 1)b −a k ) Cette m´ ethode est encore d’ordre 1. Remarque : Notons que cette m´ ethode revient ` a la m´ ethode g´ en´ erale avec ℓi = 1, en choisissant les points ξi0 = ai et ξi1 = ai+1. Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Calculs d’erreurs Rectangles Calculons avec les m´ ethodes pr´ ec´ edentes “` a la main” l’int´ egrale I = Z 1 0 t2dt et comparons ` a sa valeur exacte : I = 1/3 ! Cas des rectangles ` a gauche avec n pas : In ∼ = 1 n n−1 X k=0 f (k n ) = 1 n3 (1 + 4 + 9 + · · · + (n −1)2) = (n −1)n(2n −1) 6n3 = 1 3 −1 2n + 1 6n2 . D’o` u |I −In| ∼ = 1 2n Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Calculs d’erreurs Trap` ezes Cas des rectangles ` a droite In = 1 3 + 1 2n + 1 6n2 Dans les deux cas, l’erreur d´ ecroˆ ıt “en 1 n” En ce qui concerne la m´ ethode des trap` ezes, le calcul est le suivant : In = 1 n n−1 X k=1 f (k n) + 1 2f (1) = 1 3 + 1 6n2 L’erreur est “en 1 n2 ” Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Calculs d’erreurs Majoration de l’erreur th´ eorique On a le r´ esultat g´ en´ eral suivant, qu’on appliquera pour estimer l’erreur commise dans le cas d’une fonction ` a d´ eriv´ ee continue : Proposition Soit f : [a, b] →R, une fonction de classe C1 et soit In = 1 n Pn−1 k=0 f ( k n). Alors |I −In| ≤M(b−a)2 n o` u M = supt∈[a,b] |f ′(t)| La preuve se fait par le th´ eor` eme des accroissements ﬁnis appliqu´ e ` a la fonction f (t) −gn(t) o` u gn est la fonction en escalier utilis´ ee. Dans la m´ ethode des points milieux et, en utilisant une fonction f de classe C2, on trouve mieux : |I −In| ≤M 24 (b −a)3 n2 Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Calculs d’erreurs Majoration de l’erreur th´ eorique En ce qui concerne la m´ ethode des trap` ezes, un calcul identique (toujours dans le cas d’une fonction de classe C2) donne une majoration : |I −In| ≤M 12 (b −a)3 n2 Dans le cas de la fonction f (t) = t2, on a vu que : In = 1 2n(02 + 12) + 1 n n−1 X k=1 k2 n2 = 1 3 + 1 6n2 , d’o` u |I −In| = 1 6n2 On obtient encore une erreur en 1/n2. Int´ egration num´ erique Int´ egration num´ erique Calculs d’erreurs Majoration de l’erreur th´ eorique Observations graphiques On repr´ esente les courbes des applications : n 7→|I −In| pour les diﬀ´ erentes m´ ethodes. On travaille en coordonn´ ees logarithmiques sur les deux axes pour pouvoir faire croˆ ıtre les abscisses de mani` ere exponentielle (en puissance de 2) : on prend n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096 Par ailleurs, on calcule un taux r de d´ ecroissance (correspondant d’ailleurs aux pentes des droites obtenues ci-dessus) (N = 5000, M = 4000) r uploads/Geographie/ cours-6-pdf.pdf