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1/3 Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grand

1/3 Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Avertissement : Tous les résultats numériques sont demandés dans un format scientifique avec une précision au millième (exemple : 1,623.10-3) et en unité S.I., unité qui est à préciser. Exercice 1 : O M x0 y0 z0 = z1 x1 = x2 y1 y2 z2 θ ϕ Un cerceau de centre fixe O et de rayon r, tourne autour de son diamètre vertical fixe 0 Oz → avec une vitesse angulaire ω constante. Ce cerceau est constitué d’un tube creux de diamètre négligeable à l’intérieur duquel une bille, assimilée à un point matériel M de masse m, peut se déplacer sans frottement. Le référentiel 0 ℜ est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère 0 0 0 (O,x , y ,z ) → → → . Le référentiel absolu 0 ℜ est associé à la terre T. On note 1 ℜ le référentiel relatif rapporté au repère orthonormé direct 1 1 1 (O,x , y ,z ) → → → tel que → → = 0 1 z z . Le repère 1 1 1 (O,x , y ,z ) → → → , lié rigidement au cerceau, se déduit à chaque instant de 0 0 0 (O,x , y ,z ) → → → par une rotation d’angle θ autour de l’axe 0 Oz → . L’axe 1 O y → est toujours situé dans le plan du cerceau. SESSION 2007 CONCOURS NATIONAL D’ADMISSION DANS LES GRANDES ECOLES D’INGENIEURS (Concours National DEUG) _______________ Epreuve commune aux 3 options (Mathématiques, Physique, Chimie) MECANIQUE - PARTIE I Durée : 2 heures 2/3 On note 2 ℜ le référentiel rapporté au repère orthonormé direct 2 2 2 (O,x , y ,z ) → → → tel que 2 OM r y → → = . Le repère 2 2 2 (O,x , y ,z ) → → → se déduit à chaque instant de 1 1 1 (O,x , y ,z ) → → → par une rotation d’angle ϕ autour de l’axe 1 O x → . On note g l’accélération de la pesanteur. 1.1 Déterminer e → γ l’accélération d’entraînement du point M et l’exprimer dans 1 ℜ. 1.2 Déterminer c → γ l’accélération complémentaire du point M et l’exprimer dans 1 ℜ. 1.3 Déterminer r → γ l’accélération relative du point M dans le repère 1 ℜ et l’exprimer dans 1 ℜ. 1.4 Déterminer a → γ l’accélération absolue du point M dans le repère 0 ℜ et l’exprimer dans 1 ℜ. 1.5 Calculer a → γ sans utiliser la composition des mouvements et la comparer avec le résultat trouvé à la question 1.4. Exercice 2 : O C z y x a c b b/2 b/2 Barre (1) Tube (2) Trou (3) b Soient une barre (1) en aluminium percée d’un trou (3) de diamètre d3 et son support en acier pris dans un tube (2) de hauteur b, de diamètre intérieur di et de diamètre extérieur de. L’axe du tube et l’axe de la barre sont dans le même plan. Le terme ‘barre pleine’ désigne la barre (1) sans le trou (3). On note ρ1 la masse volumique de l’acier et ρ2 celle de l’aluminium. Le point C est tel que e d c OC b x y z 2 2 → → → → = + + 2.1 Déterminer les masses m1 et m2 de la barre pleine (1) et du tube (2) ainsi que celle m3 de la partie enlevée pour créer le trou (3). 2.2 Donner la position des centres de gravité G1, G2 et G3 de la barre pleine (1), du tube (2) et du trou (3). 3/3 2.3 Déterminer la position du centre de gravité G du solide composé de (1)+(2)-(3). 2.4 Application numérique : Calculer la position du centre de gravité G pour a = 80 mm, b = 30 mm, c = 20 mm, di = 18 mm, de = 34 mm, d3 = 20 mm, ρ1 = 7,8 kg/dm3 et ρ2 = 2,7 kg/dm3. Exercice 3 : Air pa Air pi Cloche ρ1 Eau ρe ∆h Un gazomètre est formé d’une cloche cylindrique à fond plat en acier de masse volumique 1 ρ , de rayon intérieur R, de hauteur H et d’épaisseur faible e. On note V le volume utile de cette cloche. 3.1 Déterminer la relation entre R et H pour que le poids de cette cloche soit minimal à volume utile constant. Avec cette hypothèse, cette cloche est renversée sur une cuve à eau de surface libre fixe. Elle est en partie immergée et contient de l’air. On note e ρ la masse volumique de l’eau, pa la pression atmosphérique et g l’accélération de la pesanteur. 3.2 En étudiant l’équilibre de la cloche, en déduire la pression pi à l’intérieur de la cloche en fonction de e, 1 ρ , g et pa. 3.3 En déduire la variation de hauteur h ∆entre le niveau de la surface libre et celui de l’eau à l’intérieur de la cloche en fonction de e, 1 ρ et e ρ . 3.4 Application numérique : Calculer la variation de hauteur h ∆ pour e 4mm = , 3 1 7800 kg / m ρ = et 3 e 1000kg / m ρ = Fin de l’énoncé uploads/Geographie/ deug-mecanique-partie-1.pdf